Сборник задач по физике - Баканина Л.П.
Скачать (прямая ссылка):
uL
и = X.
Составляющие скорости лодки относительно берега вдоль осей х и у соответственно будут
u.r = ucos<p, Vy-V sin ф — и (о—скорость лодки относительно воды) и так как x — otcos <р, то
У
Vy — V sin ф —vt cos ф. Таким образом, движение лодки вдоль сси X — равномерное, а вдоль у — равнозамед-ленное.
Через t сек после отплытия лодка будет иметь координаты хну, причем
X = Vt COS ф, \
X=L
у=* Vt sin ф •
uI Vt2 COS ф
2 L
Рис. 153.
Момент встречи лодки с плотом определяется равенствами t=*T, У — О, X = L, следовательно,
L = vT cos ф, О = vT cos ф -
u^vT2 cos ф
2 L
отсюда sinq> — uJ2v и T = Ljv cos ф. Подставляя заданные значения, получим <р = 30°, T » 35 сек. Очевидно, что если ^ 2d, то встреча лодки с плотом невозможна.
12. Из каждой точки, которую пролетает самолет, распространяется сферическая звуковая волна (несколько таких волн в момент нахождения самолета в точке А, изображены на рис. 154). Границей зоны, в которую дошел звук, служит конус, являющийся огибающей для этих волн; AB и АС — линии пересечения этого конуса с плоскостью чертежа (плоскость чертежа перпендикулярна
137 к земле). Сначала до точки В, как видно из рисунка, дойдет звук из точки O1 (BOi AB). OA — путь, пройденный самолетом с того момента, как он пролетел над наблюдателем, до того, когда наблюдатель услышал звук. OD-путь, пройденный за то же время звуковой волной из точки О (OD 1 AB). Углы BAO и BOD равны, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (обозначим эти углы через а). Как видно из рисунка,
В
Рис. 154.
cos а =
sin а ¦
OD OB OD OA
ct_ H'
et _ с
Vt V
(1) (2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), получаем V = -Tf==M===- = 583 м/сек.
13, Ответ;
Vh2-
H =
C2Ii Ct
IO км
(решение аналогично решению задачи 12).
Статика
14. Условием равновесия стержня является равенство моментов сил тяжести P и натяжения веревки T (рис. 155) относительно шарнира В:
P sin а = TL cos ?,
где L-
¦длина стержня, или р
-g- sin a = T cos ?,
P =
J - (я-2а) = 2а--2,
COS
: sin 2а.
Таким образом,
т ^ P sin a ^ P
2 sin 2а 4 cos а '
15. Пусть Р — груз, растягивающий пружину до длины Li. Так как удлинение пружины пропорционально нагрузке, то
Li-L0 = аР, (1)
138 где Іо"~Длнна недеформированной пружины, а — коэффициент пропорциональности. Очевидно, что под действием той же нагрузки половина пружины растянется до длины Z-i/2. Обозначив Cti ана" логичный коэффициент для половины пружины, получим
Li — L0
ар d
откуда
а, =
(2)
Таким образом, коэффициент а упругости зависит от длины пружины. Теперь можно записать выражение для L2:
L2 =
L1 2
(3)
Здесь первая скобка дает длину нижней половины растянутой пружины, а вторая — верхней. Учитывая (2) и исключая из (1) н (3) величину аР, получим
/ -V 9Г
Li0 — OLi [ — ZL 2.
16. Силы, действующие на цилиндры, изображены на рис. 156: Т — натяжение нитей, N — сила давления между цилиндрами. Для среднего цилиндра условие равновесия запишется так:
2mg = 2N cos ?. (1)
Для любого из крайних цилиндров mg + N cos ? = T cos a, (2) N sin ? = Tsin a. (3)
Подставляя (1) в (2) и деля (3) на (2), получаем
tg? = 2tga.
Заметим, что при наличии трения продолжение нитей может не проходить через центры боковых цилиндров и решение задачи усложнится. Читателю полезно попытаться записать условия равновесия для этого случая.
17. На рис. 157 изображены силы, действующие на нижнее левое бревно: F- сила давления со стороны верхнего бревна, fTp —сила трения между бревнами, /тр—сила трения между бревнами и землей, P — сила тяжести. Кроме того, в точке В действует сила N реакции опоры, направленная вертикально вверх. Бревна не будут раскатываться, если сумма моментов сил Frр и /тр относительно точки О равна нулю. Так как АО = OBt то это условие приводит к соотношению
P тр =/тр- (1)
139 Кроме того, в случае равновесия бревна будет
/тр + Ртр cos 30° = F cos 60° (2)
(сумма горизонтальных проекций всех сил равна нулю). Но Frp = kF. Подставляя это соотношение в (1) и (2) и исключая из (1) и (2) /тр, получим
^ cos 60° 1
= 1 + cos 30° = 2 + Vi'
При меньшем коэффициенте трения бревна раскатятся.
18. Центр тяжести грузовика находится на расстоянии X = L/4 от его задних колес. Вычисляя моменты относительно точки
Рис. 158.
соприкосновения заднего колеса грузовика с землей, получим условие опрокидывания грузовика:
Fh + MgH sin a 2? Afg* cos а, (!)
где F — натяжение троса,
F= mg sin a, Mg = P, mg = р.
Условие (1) можно переписать в следующем виде:
g (mh + MH) sin а > cos а, (2)
откуда
. ^ ML/ 4 tga> mL + MH ~0'4'
т. е. реальной опасности опрокидывания для a= IO0 нет.
19. Предположим, что в пластине симметрично первому отверстию вырезано второе (пунктир на рис. 158), тогда центр тяжести оставшейся части пластины будет расположен в ее геометрическом центре, т. е. в точке О. Центр тяжести части пластины, заключенной внутри пунктирной линии, находится на расстоянии R/2 от точки О. Если M — масса целой пластины, а пг — масса вырезанной
