Сборник задач по физике - Баканина Л.П.
Скачать (прямая ссылка):
2/і
откуда
/2h / 1 - sin a —:— \
— —+ F 1 + sin а . g V /sin а
Теперь легко канти разность
g
поскольку Ksina-l-l > Ksin a + 1, и знаки перед корнями всюду, разумеется, положительны.
2. Время t движения груза вдоль хорды определится из соотношения
а '
где а — ускорение груза, L — длина хорды. Если хорда составляет с вертикалью угол а, то a = g cos a, L = D cos а, где D — диаметр окружности. Таким образом,
/¦-І*.
g
Время движения груза вдоль любой из хорд одинаково.
3. Если Л—длина хорды A?, то ускорение при движении вдоль
h t -і / 2A" „і/' нее будет a~S~2l> а время движения tAB= у
нетрудно видеть, ЧТО tАВ = tвс, поэтому
,-/T-
г
Полученное дриближенное выражение для периода несколько больше точного T = 2л "j/"1^"" Почему?
2 2о2 '
здесь f — время полета, о — горизонтальная скорость атомов:
2W 2WN
V' = ¦
т
133где т — масса атома, JV = 6,02 • IO23 l/моль — число Авогадро. Окончательно получим
h =
gL'A
AWN
11,2-10"5 см.
5. Время t падения бомбы можно найти из уравнения et2
H «= + vt sin а;
здесь о sin а — вертикальная составляющая скорости бомбардировщика (рис. 149). За это время бомба пройдет в горизонтальном направлении путь L:
L = vt cos а. Исключая отсюда время t, получим
V1 cos
+ —Л
§f Vr V2 sin2 а /
6. Пусть струя воды вылетает со скоростью v из~трубы, направленной под углом а к горизонту (рис. 150). Тогда максимальная
Рис. 149
Рис. 150.
высота h, на которую поднимается вода, будет равна
h =
tr Sini а
где V sin а — вертикальная составляющая скорости v. Обозначая через hi, Л2, Л3 максимальные высоты подъема, соответствующие углам а = 60, 45 и 30°, получим
H1: h2: h3 = (sin 60°)2: (sin 45°)2: (sin ЗО0)2 = 3 : 2 : 1.
Время t полета воды равно удвоенному времени подъема на высоту h:
t = 2JL±!HiL. g
За это время вода пройдет в горизонтальном направлении путь L'
L = vt cos а = — sin 2а,
Є
откуда
L1: L2: L3 = sin 120°: sin 90°: sin 60°
V з , V3_ 2 • • 2
1347. За время полета t камень прошел в горизонтальном направлении путь (рис. 151)
vt — L cos а.
Снижение камня за то же время равно
gt2 T ¦
¦s-r— - L sin й,
Исключая из этих двух уравнений время, получим
, 2и2 sin а
Ll--Q ,
gCOSj а
отсюда находим V.
8. Скорость V шарика перед ударом о плоскость
V = Ytgh- (D
При упругом ударе о неподвижную поверхность потерь энергии шарика не происходит, поэтому величина скорости при отражении
Рис. 151.
Рис. 152.
будет такой же. Составляющая скорости, направленная вдоль наклонной плоскости, останется неизменной, а составляющая скорости, перпендикулярная к наклонной плоскости, не меняя своей величины, после удара изменяет направление на противоположное. Иными словами, при упругом ударе угол падения шарика равен углу отражения (рис. 152).
Перейдем теперь к решению задачи. Для этого введем систему координат, начало которой поместим в точку удара шарика о наклонную плоскость, ось X направим горизонтально, а ось (/—вертикально (см. рис. 152). Координаты точки наклонной плоскости, в которую попадает шарик после отскока, обозначим через ха и у0. Очевидно, что
= tg а. (2)
Xo
За время t шарик пройдет в вертикальном направлении путь у, причем
у =vt cos 2а -
(3)
135а в горизонтальном направлении — путь х-,
X = vt sin 2а. (4)
Исключая из (3) и (4) время t, найдем траекторию движения шарика:
у = JCctg 2а - -^t ¦ г о . (5)
" 2с2 sin2 2а
Заметим теперь, что в момент повторного удара шарика о наклонную плоскость значения х и у в уравнении (5) станут соответственно X0 и у о. Если затем из (2) и (5) исключить *о> то легко получим следующее выражение для у0:
tJo=~Ah tg2 a sin2 2а(і +^р).
Учитывая, что sin 2а = 2 sin а cos а и cos 2а = cos2 а — sin2 а, окончательно найдем
уOlm — 8А «in2а.
Теперь нетрудно найти искомое расстояние S, которое, очевидно, равно
S = IM- = SAsin a = Ah = 8 м. sin а
Заметим, что выражение для S не зависит от ускорения свободного падения и будет тем же самым при любых g ф 0. Читателю предоставляется возможность самому истолковать этот результат.
9. Через время T первый шарик окажется над землей на высоте Ai, причем
где V — начальная скорость шарика. Второй шарик к моменту времени T находился в воздухе (T — t) сек, поэтому его высота Л над землей будет
При встрече шариков A1 = A2, откуда
10. Первый снаряд будет поражен в минимальное время, если встреча снарядов произойдет на максимально возможной высоте, т. е. на максимальной высоте, на которую сможет подняться второй снаряд.
Максимальные высоты, па которые поднялись соответственно первый и второй снаряды,
V21 V2
"Ы и "'-W1
133отсюда время /f полета первого снаряда до встречи будет
Л=-
g V g
g
а время t2 второго снаряда будет t2 — v2/g. Значит, время между выстрелами
fi-fj = -
V1-V2+ VvJ-vS
g
54 сек.
!1. Скорость течения реки на расстоянии х от берега (рис. 153)