Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
27
3.2. Кинетическое уравнение
При достаточно низкой плотности две частицы лишь очень редко сближаются до таких расстояний, что силы их взаимодействия достигают заметной величины; одновременные же взаимодействия трех и более частиц настолько редки, что ими можно пренебречь. В этом случае свойства системы частиц можно вывести из одночастинних функций распределения, а бинарные функции будут выражаться произведением
Одночастичное распределение выводится из уравнения (3.2) в предположении я = 1. В левой части уравнения /Р) можно положить равной /М. Правая часть упрощается ввиду симметрии /W по отношению к перестановкам частиц. Интегрируя и применяя соотношение (3.3), получаем
= N J [/<» (Pi)/<*>$) - /<» (P1)/<» (P2)J dr2 dp2i (8.4)
где штрихами обозначены значения импульсов в момент времени t-X.
Соотношение между импульсами в моменты времени t-X
и t выводится из теории столкновений. Пара частиц временно рассматривается отдельно от других частиц; эти две частицы не взаимодействуют друг с другом, за исключением коротких интервалов времени, в течение которых импульсы резко изменяются от начальных до конечных значений.
В правой части равенства (3.4) импульсы со штрихами являются функциями P1, р2, T1, г2. Эта функциональная зависимость упрощается при переходе к другим переменным. Действительно, движение центра тяжести пары частиц полностью определяется законом сохранения импульса
/(2)(1, 2) = /а) (1)/<1> (2).
(3.3)
Г dfm (1) і P1 а/а)( 1) 1 _ L Ш Г"—' dti J-
P+ = PiH-P2=sPiH-Pa-
(8.6)
Относительное движение имеет три степени свободы, и соответствующие уравнения движения, таким образом, разрв- 28
ГЛАВА III
шаются в виде пяти независимых от времени соотношений. Введя относительный импульс
P- = P2-P1, (3.6)
запишем закон сохранения энергии в виде E 2т
= Pl=P.-, (3.7)
закон сохранения углового импульса имеет вид
L = P_X(r2-r1) = p'_X(r;-r;), (3.8)
а формула для угла отклонения
cosdi = p' --2-=COS Pt
2i J M2"--Ш
Oo
— 2 i»x(*)}
-Vs
dx
(3.9)
где нижний предел интегрирования определяется из соотношения
Здесь і — потенциал, определенный нами в разд. 1.1. a D0 — наименьшее расстояние между частицами.
В последующих рассуждениях окажется полезной другая формулировка этих соотношений. Обозначим через К вектор, определяемый равенствами
K= 1, K-L = O,
.Ж (ЗЛ0)
К • р_ = — P- sin ^yJ.
Тогда законы столкновений приобретают простой вид
Pj = P1 +(К-P-) К, P2 = P2 — (К • P-) К,
Р'_=Р_ — 2(К-р_)К. (3.11)
Согласно этим соотношениям, в процессе столкновения относительный импульс изменяется по направлению, тогда как его абсолютное значение остается неизменным. Забегая НЕОБРАТИМОСТЬ
29
вперед, приведем следующие соотношения, которые легко получаются путем введения декартовых координат, причем одна из осей выбирается параллельно L1 а другая параллельно р_ *):
(KK): (KK) = 1, (KK): (Кр_ + P-K) = 2 (К • р_).
(Кр_ + р_К): (Kp_ + р_К) = 2 _(_ (К . р_)2]. (3-1
Подынтегральная функция в (3.4) равна нулю, если в интервале времени между t — t и t не происходит соударения, приводящего к заметному изменению импульса. Для данных рх, р2 и T1 конец вектора г2 соответственно находится в небольшом объеме, в котором заключены все возможные начальные точки, благоприятные для столкновения. Эти точки расположены внутри цилиндра, основанием которого является плоскость, проходящая через частицу 1 и перпендикулярная р_. Плоскость основания формально может быть бесконечно протяженной, но практически она ограничена кругом радиусом менее Ю-7 см. Высота цилиндра равна р_т/т.
Введем обозначение dr = dhda, где da — элемент поверхности, перпендикулярной к р_. Интегрирование правой части уравнения (3.4) по dh (составляющей г2 по направлению р_) легко осуществляется, так как подынтегральная величина не зависит от этой переменной. Остающийся дифференциал второго порядка равен da = [{p_)zA{р_, f)/m]dK, где А — сечение столкновения, a ^K — бесконечно малый
') Произведение G • а тензора G на вектор а определяется как вектор, компоненты которого задаются равенствами
(Q-а)« = 2 Gepep.
?
Скалярное произведение G • G' двух тензоров GhG' определяется как тензор с компонентами
(Q-GOctp = 2 gA-
г
Бискалярное произведение двух тензоров G : G' определяется как скаляр, равный сумме произведений соответственных компонент G и G'. т. е.
G: G'= 2 2 0A-
а ?
— Прим. перев. зо
ГЛАВА III
телесный угол, ограничивающий бесконечно малую область углов отклонения. Сечения столкновения одинаковы для пар взаимно обратных столкновений р[_—>р_ и р_—>р\ отличающихся только знаком К; угол ^K можно разложить на составляющие rfK = cos dty где ? — азимут относительно р_.
Введя длину
B = jr> (3-13)
написанный выше дифференциал можно записать в виде
da =p_BdBd%, (3.14)
где угол отклонения теперь рассматривается как функция В и р_.
Функция /W(I) определяет распределение по импульсам и координатам молекулы с индексом 1. Обозначим число частиц, находящихся в элементе фазового пространства вблизи P1, T1, через /(P1, T1) = NfM(I). Если мы рассматриваем две частицы, то в качестве аргумента следует брать либо P1, T1, либо р2, T2. Выражая поток импульса или энергии [согласно (1.11) или (1.13)] через эти функции распределения, необходимо принимать во внимание множитель N.
