Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
В терминологии Гиббса функция распределения /W определяет „статистический ансамбль", т. е. набор возможных копий рассматриваемой механической системы. В соот-
>) О методе функций распределения см. дополнительную литературу [4]. — Прим. перев.
д/М
(1.4)
dt 16
ГЛАВА III
ветствии с этим о средних значениях, полученных с помощью такой функции распределения, говорят как о „статистических среднихТерминология Гиббса не является необходимой для нашей теории, но она ґіолезна для иллюстрации отвлеченного понятия функции распределения.
1.3. Интерпретация макрофизических величин
Поскольку физическое тело представляет собой систему частиц, его свойства должны непосредственно выводиться из свойств составляющих его микрофизических элементов. В частности, имеются такие макроскопические величины, которые можно интерпретировать как средние значения функций координат и импульсов; такие средние значения вычисляются с помощью функции распределения ?N\
Так, внутренняя энергия U представляет собой среднее значение микрофизической функции Гамильтона
U = {H). (1.5)
Средние значения мы и в дальнейшем будем обозначать угловыми скобками ( }. Методика усреднения пояснена в разд. 9.1.
Можно предположить, что тензор напряжений Р, действующих на поверхность тела, уравновешивается в каждой точке (г) силами взаимодействия между частицами и стенкой сосуда и, следовательно, может быть определен из потенциала 2. Отсюда следует, что
о-6)
і
где dS — элемент поверхности, п—нормаль к поверхности, а V — объем; второе равенство получено с помощью теоремы Гаусса 1J.
Аналогичным образом энергия Q, сообщаемая телу в единицу времени через единичную площадку, равна работе, про-
>) Здесь, как и в дальнейшем, произведения ab векторов а и b являются тензорами; „точечные" произведения Ь • G вектора b и тензора G — векторы. Тройные произведения ab • G будут соответственно тензорами. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦ
17
изводимой силами взаимодействия между частицами и стенкой. Следовательно,
При оценке этих и подобных им средних значений во многих случаях не обязательно знать функцию распределения f(N\ а можно ограничиться приведенными функциями распределения. В частности, можно воспользоваться функциями распределения, которые выводятся из функции /W усреднением по координатам и импульсам N—1 или N—2 частиц. Например, бинарные функции распределения определяются равенствами
N
/(2)(1, 2)= Г ?» JJdpj dt
;= 3
^2)(1, 2) = 1/(2)(1, 2) dpj dp2. (1.8)
Приведенные функции распределения молекулярных переменных до некоторой степени доступны непосредственному наблюдению.
1.4. Теорема вириала
В этом разделе выводятся соотношения между средними значениями различных функций микродинамических переменных. Обозначим через W1. некоторую функцию координат и импульсов частиц і и j. Пусть
T = Sfv о-9)
Производная по времени от этой функции имеет вид
= у ^iL . h _ ^IL дИ дЧу дИ]
dt ^ L dt і ' т "т" dt j т dpi dt і dpj ' drj J"
(1.10)
') Здесь через drj и dpj обозначен элемент объема, включающий соответственно точку Tj (Xj, уj, Zj) или точку PjiPjx, Pjy, Pjz). Его не следует смешивать с приращением вектора, обозначаемым теми же символами dtj (соответственно dpj).—Прим. перев.
2 Зак. 1189, 18
ГЛАВА III
Каждый член в этом выражении зависит от координат и импульсов не более чем двух частиц. Кроме того, члены в сумме (1.10) симметричны по отношению к перестановкам частиц. Следовательно, среднее значение (1.10) можно оценить с помощью бинарной функции распределения /<2>. Если бинарная функция распределения не зависит от времени, среднее значение в левой части уравнения (1.10) должно равняться нулю даже в том случае, когда функция ?N) зависит от времени.
Усредняя равенство (1.10), можно получить соотношения между различными средними значениями в правой части. При соответствующем выборе функций ср эти соотношения могут приобрести физический смысл. Так, если
J
то
d<t _V Г pJpJ ^__V fliL\
4t~ Zi^ т rJdtj iu г/ dry J'
Последний член может быть записан в виде
-iSSci-'^-
Среднее значение второго члена будет по уравнению (1.6) равно — VP. Тензор напряжений P соответственно получается в виде среднего значения:
1 L Іфі
(1.11)
Изотропное давление определится как одна треть от диагональной суммы (1.11):
1
37
J L іфі J
В этом виде теорема вириала была впервые сформулирована Клаузиусом. Если система частиц сохраняет устойчивое распределение, не будучи заключена в сосуд, то давление равно нулю; в этом случае уравнение (1.12) устанавливает КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЧАСТИЦ
19
зависимость между удвоенной средней кинетической энергией и скалярным произведением силы на расстояние. Аналогичным образом полагая
-P = TiSHr/-!] СгуЧ- гг)ХуЛ . JL іфі J
получаем выражение для потока энергии
+ Ш S ([^1-(^-^)-?1] -(Py + Pd)] . (1.13)
іФ) J
где I — единичный тензор.
Выведенные в этом разделе уравнения не позволяют получить явные выражения для средних значений (1.11)—(1.13), так как функция распределения остается неизвестной. Поэтому основной задачей статистической физики является определение соответствующих функций распределения. II
