Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.
Скачать (прямая ссылка):
т.е. соответствующие разряды кода вектора Пр. равны
',Z0) ^n-a.itr(X,Z0)
па,
Al
(6.36)
Легко показать, что при фиксированных значениях aXZ() и ах средние значения каждого разряда кода вектора х в зонах нулей и единиц соответственно равны:
а,а. -паг. па., -а.а, х ч>_*ч>_ _jrAi л А)
(« -аЦ) ^пах(п-ах) аЦ)^пах(п-ах) '
откуда, с учетом (6.21) и (6.36), непосредственно следует справедливость (6.35).
Утверждение 5 (дискретный аналог утверждения 2). Пусть X и Y- независимые случайные точки, имеющие равномерные распределения на соответствующих элементах множества V, определенных заданными значениями r(X, Z0) и r(Y, Z0), где Z0 - произвольный фиксированный элемент этого множества. Тогда имеет место дискрет-
142 ный аналог пункта (а) утверждения 2:
а) М(г(Х, Г)) = r(X, ZilHY- Z0),
(6.37)
или для радиусов-векторов х, у и Z0:
б) М{Cos(Xy)) = cos(xz0)cos(yz0). (6.37а)
Из уравнения
cos(xy) = COS(XZ0) COS(VZ0) + (х - Прг<1х)(у - Прг<1у)
с учетом независимости случайных точек X и Y имеем
jV/(cos(x}')) = Cos(xz0)Cos( vz0) + M(х - Пр^х)М(у- Пр^у).
Здесь в силу утверждения 4 как М(х - Пр^х), так и M(у - Прт<)у)
равны нулю, что свидетельствует о справедливости (6.37а) или, что то же самое, (6.37).
Дискретный аналог пункта (б) утверждения 2, а именно:
в) D(r(X,Y)) = -^—(\-r2(X,Z0))(\-r2(Y,Z0)), (6.38)
п-2
или для радиусов-векторов х, у и z0:
г) D(cos(xy)) = —!— sin2(xz0)sin2(yz0). (6.38а)
п-2
в общем случае не имеет места. Эти соотношения справедливы лишь в отдельных частных случаях, например, в тривиальных случаях, когда имеет место какое-либо одно из следующих условий:
r(X, У)=± г(Х. Z0), г(Х, Г) = ± r(Y, Z0)
Во всех этих случаях (1 - r2(X, Z0))(l - r2(Y, Z0)) = 0, т.е. левая и правая части (6.38) одновременно равны нулю.
Пользуясь (6.23), (6.31) и (6.32) можно показать, что (6.38) имеет место также в ряде нетривиальных случаев, например, когда
а, =1 или а, =«-1.
'о г»
Замечание к утверждению 5.
Легко заметить, что (6.37) и (6.37а) остаются в силе при замене случайной точки Y произвольным фиксированным элементом K0 с заданным значением r(Y, Z0). Действительно, при этом
jW(COS(xy)) = cos(xz0)cos(yz0) + (x- Пр^хХу'о - Пр.,.V0),
где в силу утверждения 4 имеет место М(х - Пр Jt) = 0.
Можно показать, что по крайней мере для рассмотренных нами случаев аЦ) = 1 и a^ =п-1 при такой замене остаются в силе также
(6.38) и (6.38а).
143
ГЛАВА 5 Теорема транзитивности для л-мерного единичного куба (дискретный аналог теоремы транзитивности для л-мерной сферы, обобщение утверждения 5)
Пусть X и Y- независимые случайные точки, имеющие равномерные распределения на соответствующих элементах множества V, определенных заданными значениями r(X, Z0) и r(Y, Q0), где Z0 и Q0 произвольные фиксированные элементы множества V. Тогда имеет место дискретный аналог пункта (а) теоремы транзитивности, доказанной для /г-мерной сферы:
a) M(r(X,Y)) = r(X,Z0)r(Y,Q0)r(Z0,Q0), (6.39)
или для радиусов-векторов Л", у, Z0 и q0:
б) M(cos(xy)) = Cos(XZ0)cos(yg0)cos(z0<70). (6.39а)
Действительно, из уравнения
cos(xy) = cos(xz0) cos(yz0) + (л- - Пр^Л'Ку - Прг<1 у)
в силу независимости случайных точек X и Y получим:
M(cos(xy)) = cos(xz0)M(cos(xz0)) + М(х - Пр х)Л/(у - Пр у),
где в силу утверждения 4 имеет место М(х - Пр х) = 0, а в силу замечания к утверждению 5
M(cos(yz0)) — cos( yq0) cos(q0z0),
т.е. имеем:
M(cos(xy)) = cos(xz0)cos(yqQ)cos(q0z0), или, что то же самое,
M(r( X, Г)) = r(X, Z0 )r(Y, Q0 )r(Q0, Z0).
В частном случае, когда векторы Z0 и Q0 совпадают, т.е. r(Z0, Q0) = = 1, выражение (6.39) совпадает с (6.37). Дискретный аналог пункта (б) теоремы транзитивности для сферы в общем случае не имеет места. Эти соотношения справедливы лишь в отдельных частных случаях. Можно показать, например, что они имеют место в случаях, когда а = а = 1, т.е. когда коды векторов Z0 и Q0 содержат по одной единице.
Теорема синонимии для л-мерного единичного куба (дискретный аналог теоремы синонимии для л-мерной сферы, обобщение пункта (б) утверждения 3)
Пусть X - случайная точка, имеющая равномерное распределение на элементах множества V, a Z0 и Q0- произвольные фиксированные элементы этого множества. Тогда имеет место:
144 а) M(r(X,Z0MX1Q0)) =-Ц-KZ0,Q0), (6.40)
п -1
или для радиус-векторов х, q0 и z0:
б) M(cos(xzo)cos(xq0)) = —r(z0q0). (6.40а)
« -1
Приняв в качестве базиса (п - 1)-мерного пространства систему векторов, один из которых (например, с индексом 1) проходит через точку Z0, а другой (например, с индексом 2) принадлежит плоскости, проходящей через радиусы-векторы точек Z0 и qih получим:
COSte0) = X1, cos(z0q0) = q0i, cos(xq0) = xtq0l + x2q02,
Cos(XZ0) cos(xq0) = q01xf +q02x,x2, (6.41)
M(cos(xz0)cos(xq0)) = q0iM(x2) + q02M(xlx2). (6.42)
В силу (6.34a) имеет место
M(Jtj2) = Af(Cos2Uz0)) = -.
її -1
Величина M(X\X2) равна нулю, в чем легко убедиться, рассматривая группы векторов X, характеризующиеся постоянством значений Л'і = r(X, Z0). Для каждой из этих групп в силу утверждения 4 имеет место M(X2) = 0, т.е. M(X1X2) = 0.
