Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть хну- независимые случайные точки, имеющие равномерные распределения на соответствующих множествах точек рассматриваемой сферы, определенных фиксированными значениями cos (Xz0) и cos (yqо), где Z0 и q0 произвольные фиксированные точки. Тогда имеют место:
а) Mcos (лгу)) = cos (xz0) cos (ад,,) cos (qf]y). (6.16)
б) D(Cos(X)O) =-]—т(" -2 + Cos2(XZ0) +
(/i-l)
+ cos2(yq0) + cos2(z0q0) -n(cos2(xz0)cos2(yq0) +
+ COS2 (XZ0)COS2 (z0q0) + cos2 (yq0) cos2 (z0q0)) +
+(2n - 1 )cos2 (xz0)cos2 (yq0) cos2 (z0q0 ))• (6.17)
Действительно, приняв в качестве базиса /і-мерного пространства систему векторов, один которых (например, с индексом 1) проходит через точку Z0, получим:
X1=Cos(XZ0), y,=cos(yz0), M(X2) = M(Xi)-..= M(Xn) = 0.
Отсюда, в силу независимости случайных точек х и у, а также с учетом (6.11) и замечания к утверждению 2, получим:
п
M(cos(xy))= 1 M(xk)M(yk) = cos(xz0 )М (cos(yz0)) = *=i
135
ГЛАВА 5 = cos( XZ0) cos( у Q Q ) cos( Z0<70 )¦
n
Из соотношения COS (лгу) = X хкУк имеем:
it=I
п п-1
COS2(Xy)= X XkVk + 2 X (хкук)(х,у,) к=\ к = \
(п Sz t> к),
M(cos2(xy)) = M\ X х2ку2к 1 + 2Affl (хкук)(хіУі)
к=\
\к=\ t> к)
(6.18)
В силу независимости случайных точек х и у, с учетом симметрии получим:
Affl (W(*,>V)I=I М(хкх,)М(уку,) = 0. Vil = I J к = I
(п^ t > к) (п^ t > к)
Пользуясь соотношениями
X,=COS(XZ0), XW(X2) = I, t М(у2к) = \,
k = l Il = I
выражением (6.15) и замечанием к утверждению 2, с учетом симметрии из (6.18) получим:
М(Cos2(Xy))= X М(х2к)М(у2к) = Cos2(Xz0)х к = \
-sin2 (у qQ)sm2(z0q0) +cos2 (у q0) cos2 (ZQq0)
Vn- 1
1 ? ( 1 2 2 +--Sinz(XZ0) 1---sin (y<70)sin (20?)-
п-1 V п- 1
-COS2(yq0)COS2(Zoqo)) = ^2 + (cos2(yq0) + (6.19)
+ cos2(XZ0) + COS2(z0q0)) ~ , " 2 (cos2(xz0)cos2(у^0) +
(«-О
+ cos2 (xz0) cos2 (z0<?0) + cos2 (у^ о) cos2 (Z0^0 )) +
136 + n , COS2(xz0)cos2(yg0)cos2(z0q0). (н- 1)-
Отсюда с учетом (6.16) легко получить (6.17).
В частном случае,когда векторы Z0 и q(l совпадают,т.е. cos(z0g0) = '> формулы (6.16), (6.17) и (6.19) совпадают соответственно с формулами (6.11), (6.12) и (6.15).
Теорема синонимии для /z-мерной единичной сферы (обобщение пункта (б) утверждения 1)
Пусть X - случайная точка, имеющая равномерное распределение на /г-мерной единичной сфере с центром в начале координат, a Z0 и q0 -произвольные фиксированные точки. Тогда имеет место:
M(cos(xzQ)cos(xq0)) = -cos(z0g0 ). (6.20)
п
Действительно, приняв в качестве базиса /(-мерного пространства систему векторов, один из которых (например, с индексом 1) проходит через точку z(), а другой (например, с индексом 2) принадлежит плоскости, содержащей радиусы-векторы точек Z0 и с/0, получим
COS(XZ0) = Xi, cos(z0<?0) = <70|, <?о.з = ?04 =•••= <?0„ = О' COS(Xg0) = Х,<7Ш + x2g02, cos(xz0)cos(xg0) = д0|х2-Hg02XlX2, /W(cos(xz0)cos(xg0)) = cos(z0g0 )M(xf) + q02M(xlx2).
В силу симметрии и с учетом (6.10) имеем М(х\х2) = 0, М(х\) = 1/н,
откуда следует справедливость (6.20).
В частном случае, когда векторы Z0 и <т/0 совпадают, т.е. cos(z,,g0) =
= 1, выражение (6.20) совпадает с выражением (6.10).
В случае, когда п = 2, формулировка теоремы синонимии приводит к известной формуле:
27t
J cos(a-(p)cos(pd(p = Ticosa. о
Выше мы условились использовать в качестве формальной меры степени подобия двух размытых подмножеств Xi и Yi значение критерия
!'(XilXj), численно равного величине cos(X*,X*) или, что то же самое, скалярному произведению х,х;, где х, и Xj - отображения соответствующих размытых подмножеств на единичную сферу с центром в начале координат, все радиусы-векторы которой перпендикулярны
137
ГЛАВА 5 вектору ?(1, 1,...,1). В рамках настоящего раздела рассматривались случаи, когда интересущие нас случайные точки имели непрерывные распределения на единичной сфере с центром в начале координат или на соответствующих участках ее поверхности. При решении же ряда прикладных задач, связанных с построением систем динамического взаимодействия различных стратегий анализа, приходится иметь дело с размытыми подмножествами, соответствующие которым случайные точки имеют дискретные распределения на соответствующих точках единичной сферы. В некоторых из этих случаев, представляющих определенный практический интерес, имеют место теоремы - дискретные аналоги рассмотренных только что теорем транзитивности и синонимии. В частности, такие аналоги имеют место при рассмотрении важнейшего класса обычных (четких) подмножеств, или соответствующих им бинарных векторов.
? 0 ТЕОРЕМЫ ТРАНЗИТИВНОСТИ И СИНОНИМИИ b^- (СЛУЧАЙ л-МЕРНОГО КУБА)
Задание каждого обычного подмножества Xi, определенного на универсальном множестве U из « элементов, сводится к заданию функции принадлежности Ц,-(и,), которая выделяет из « элементов множества U те элементы, которым соответствуют значения Ц;(и,) = 1, т.е. те, которые принадлежат подмножеству Xi. Тем самым выделяются также те элементы, которые не принадлежат подмножеству Xi, т.е. те, которым соответствуют значения II1(U1) = 0. Элементы второго типа в совокупности представляют подмножество Xi - дополнение подмножества Xi до универсального множества U. Каждому обыкновенному подмножеству Xi при этом ставится в соответствие «-мерный вектор Х,-(Хц, Х/2, ..., Xill), t-я координата которого равна единице или нулю в зависимости от того, принадлежит или нет f-й элемент универсального множества U данному подмножеству Xi. Число различных обычных подмножеств, определенных на универсальном множестве U из п элементов, равно 2". Геометрическим местом точек Xi, радиусы-векторы которых представляют эти подмножества, являются 2" вершин «-мерного куба. Точки 0(0, 0, ..., 0) и ?(1, 1, ..., 1) и соответствующие им подмножества - нулевое подмножество и его дополнение, совпадающее с универсальным множеством U, в дальнейшем не будем рассматривать, так как, во-первых, они не представляют практического интереса, а во-вторых, на них не определены значения критерия r{Xj, Xj). Остальные 2" - 2 подмножества называются собственными подмножествами множества U. Из основного определения значения критерия r(Xif Xj) (см. предыдущие разделы) легко убедиться, что для произвольных двух
