Теоретические основы информатики - Аветисян Р.Д.
Скачать (прямая ссылка):
' T(XhXj)= 1, (6.2)
а во втором
,(XhXj) = -I. (6.3)
Во всех остальных случаях имеет место
!/(XllXy)Ul. (6.4)
Далее через Xi будем обозначать также точки //-мерного пространства, радиусы-векторы которых представляют соответствующие размытые подмножества. Легко убедиться, что все координаты вектора Х;? - геометрической проекции вектора Xi на направление вектора Е( 1, 1,..., 1) - равны т„ где
"і/=-ІМи,). (6-5)
И/=1
При этом
r(x,.,x,.)=cos(x;,x;), (6.6)
где вектор X* получается из вектора X1 путем его центрирования:
X* =Xi-Xl,. (6.7)
В свою очередь, путем операции нормирования вектора X* можно
132получить вектор
Xi=XjnXjl.
(6.8)
Геометрическим местом точек, имеющих в качестве своих радиусов-векторов векторы типа л,, является единичная сфера с центром в начале координат, все радиусы-векторы которой перпендикулярны вектору ?(1, 1,..., 1). Фактическая размерность этой сферы равна п - 1. Преобразования (6.8) осуществляют однозначное отображение произвольного размытого подмножества Xi в соответствующую точку Xi этой сферы. Обратное отображение не является однозначным, так как при прямом отображении в эту же точку Xi отображаются все другие подмножества - линейные повторения размытого подмножества Xi. В точку же - Xi при этом отображаются все размытые подмножества -линейные дополнения размытого подмножества Xi.
ТЕОРЕМЫ ТРАНЗИТИВНОСТИ И СИНОНИМИИ ьл- (СЛУЧАЙ л-МЕРНОЙ СФЕРЫ)
Утверждение 1.
Пусть X - случайная точка, имеющая равномерное распределение на «-мерной единичной сфере с центром в начале координат, а у() - произвольная фиксированная точка. Тогда имеют место:
а) М(cos Cyy0)) = 0, (6.9)
б) М(cos2 (хуо)) = D(cos (л:у0)) = 1 In, (6.10)
где через M(z) и D(z) обозначены соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины г.
Справедливость (6.9) непосредственно следует из симметричности распределения случайной величины cos (лу0) относительно оси ординат. Из условия принадлежности точки х рассматриваемой сфере имеем
п п
Ixj =1, т. е. 1М(хк) = 1. Отсюда из соображений симметрии полу-
*=1 к=\
чим М(х2к) = 1 In, т. е. М(cos2 (*уо)) = 1 In. С учетом (6.9) отсюда следует (6.10).
В частном случае, когда п = 2, формулировка пункта (б) приводит к известной формуле
2к
Jcos2 (ffc/cp = л. о
Замечание к утверждению 1.
Из соображений симметрии легко убедиться, что (6.9) и (6.10) остаются в силе при замене фиксированной точки у(| случайной точкой у, имеющей произвольное независимое OTJC распределение.
133
ГЛАВА 5Утверждение 2.
Пусть ж и у - независимые случайные точки, имеющие равномерные распределения на соответствующих множествах точек рассматриваемой сферы, определенных фиксированными значениями cos (xz0) и cos Cyz()), где z()(z()], z02,..., z0„) - произвольная фиксированная точка. Тогда имеют место:
а) Л/(со.S (ху)) = cos (Az0) cos (yz0), (6.11)
б) D(cos(jty)) = -!-sin2(jtz0)sin2(yz0), (6.12)
п -1
в) в области cos2 (a*z0) + cos2 Cyz0) < 1 величина
p(cos (л-у) > 0) - 0,5 является монотонно возрастающей нечетной функцией аргумента
COS (A-z0) cos (yz0),
г) в области cos2 (Jtz0) + cos2 Cyz0) з? 1 имеет место
р( cos(jty) > 0) - 0,5 = 0,5sgn(cos(jtz0) • cos(yz0 ))• (6.13)
Действительно, приняв в качестве базиса /г-мерного евклидова пространства систему векторов, один из которых (например, с индексом 1) проходит через точку Zlh получим:
п
cos(-ty) = cos(-rz0)cos(yz0)+ X
(6.14)
к = 2
Легко показать, что закон распределения случайной величины
п
Xхкук совпадает с законом распределения случайной величины
к= і
RiR2 cos (uv), где
R1 =Jl-Cos2(XZ0), R2 = ^Jcos2(yz0),
a u(u\, U2,..., w,,-]) и u(ult U2,..., u„_j) - радиусы-векторы независимых случайных точек, имеющих равномерные распределения на (/? - 1)-мерной единичной сфере с центром в начале координат. Отсюда, с учетом (6.9), (6.10) и замечания к утверждению 1, легко убедиться в справедливости всех пунктов утверждения 2. Из (6.11), (6.12) легко получить выражение для
M(cos2 (ху)) = —І— sin 2 (xjo )sin 2 (угп ) + cos(atz0 ) cos(_yzo )• • (6.15) n - 1
Заметим, что формула (6.13) остается в силе при произвольных законах распределений случайных точек Jt и у на упомянутых выше множествах точек сферы.
134В частном случае, когда п = 2, (6.11) и (6.15) приводят к известным формулам:
cos(a + ?) + cos(a - ?) = 2 cos a • cos ?, cos(a + ?) • cos(a - ?) = cos2 a • cos2 ? - sin2 a • sin2 ?.
Замечание к утверждению 2.
Утверждение 2 остается справедливым при замене случайной точки у произвольной фиксированной точкой Уо(У(п, Уо2>- • •, У од) с заданным значением cos (yoz()).
Действительно, при этом в выражении R\R2 cos (uv) вместо случайной точки Uiv1, V2,..., y„_j) приходится рассматривать фиксированную точку Uo(Ul)I, Ц)2>...> Ц)(и-1)) (" - 1)-мерной единичной сферы, что не сказывается на распределении случайной величины R\R2 cos (uv) (см. замечание к утверждению 1).
Теорема транзитивности для л-мерной единичной сферы (обобщение пунктов(а) и (б) утверждения 2)