Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим зависимость є от к в окрестности точки к0, удовлетворяющей (2.1). Положим к = к0 + к', где к' — волновой вектор, отсчитанный от точки к0. Тогда для очень малых к' из (2.2) получим закон дисперсии около к0:
Eli2 (к') = є (к0) ± I Vg I + (1 ± 2eb/l Fg I) Wk'2/2m0, (2.3)
где .
еь = (Тг2/2т„) (Ьг/2)2 > IFeI.
Из ' (2.3) следует, что энергетические уровни электрона в состояниях с к Ф к0 (или к' Ф 0) лежат выше E1 = E0^0) + IFsI или ниже е2 = е0(к0)+ IFsI, т. е. в интервале Єї — е2 = 2|FsI нет ни одного энергетического уровня, следовательно, в спектре появляется запрещенный участок энергии — запрещенная зона с шириной ев = 21 Fjl.
Таким образом, энергия- электрона є (к) в слабом периодическом потенциальном поле решетки является непрерывной функцией ВОЛНОВОГО вектора в k-пространстве, за исключением точек, удовлетворяющих условию (2.1), при заданном векторе обратной решетки bs. Геометрическое место этих точек — к-простран-ство — разбивают на отдельные области, причем внутри каждой области функция є (к) квазинепрерывна, а на границах терпит разрыв, и поэтому в энергетическом спектре появляются разрешенные и запрещенные зоны. Области в k-пространстве, границы которых определяются уравнением (2.1), называются зонами Бриллюэна (ЗБ).
В общем трехмерном случае уравнение (2.1), линейное относительно Jcxt кг, описывает некоторые плоскости (прямые'Для двумерного или точки для одномерного кристалла) в к-пррстран-етве^Нацменыпий многогранник, образующийся цри пересечении
- " 11 плоскостей, соответствующих узлам bg обратной решетки, непосредственно окружающих начало .координат (k = 0),,есть первая ЗБ. Вторая ЗБ включает в себя область k-пространства, ограниченную границами первой зоны и плоскостями, соответствующими следующим соседним узлам начала координат k = 0, и т. д.
Поскольку в каждой разрешенной зоне энергий; согласно (1.7), является периодической функцией, то достаточно знать функцию е (к) в пределах первой или приведенной ЗБ. Тогда каждому значению к в первой ЗБ будет соответствовать один уровень в каждой разрешенной энергетической зоне, следовательно, в пределах первой ЗБ е будет многозначной функцией к, т. е. е„(к), где п — номер зоны. Поэтому достаточно знать форму только первой JB.
Из (2.1) следует, что для квадратной плоской решетки первая ЗБ представляет собой квадрат с площадью (2л/а)2, а для простой кубической решетки — простой куб объемом (2п/а)3 = = (2я)3/?2о, где а — постоянная решетки. В дальнейшем первую или приведенную зону будем называть просто зоной Бриллюэна.
В физике полупроводников большое значение имеет ЗБ для гранецентрированной кубической (ГЦК) решетки, так как многим практически важным полупроводникам (Aiv) и полупроводниковым соединениям (AinBv, A11Bvi) соответствует именно этот случай. Известно, что для ГЦК обратная решетка есть объемоцентрированный куб (ОЦК) [4]. Произвольный узел обратной решетки примем за начало координат k = Q и оси кх, ку, кх направим вдоль ребер ОЦК. Если основные векторы обратной решетки bi, Ь2, Ьз также направить вдоль ребер этого куба, то элементарная ячейка будет содержать два узла. Однако векторы bf можно выбрать так, чтобы элементарная ячейка, построенная на этих векторах, содержала всего один узел. Удобно выбрать их в следующем виде:
ь, = щ. (к? - к» + к»), ь, = ^ (к? + к* - к»),
О (2,4)
bs=.^(-k» + k» + k30), ¦
где а — длина ребра ГЦК прямой решетки, kj, k®, k!J — единичные векторы, направленные вдолй ребер ОЦК обратной решетки.
Каждый узел ОЦК, в том числе начало координат k = О, имеет восемь первых ближайших соседей, положения которых определятся векторами =Ui1, ±Ь2, =tb3, =fc(bt + b2 + b3), Подставив выражения этих векторов с учетом (2.4) в условие (2.1), получим уравнения восьми плоскостей. Эти плоскости, пересекаясь, образуют октаэдр с центром k = 0, вершины которого' имеют координаты (±3я/а, 0, 0), (0, ±3я/а, 0) и (0, 0, ±3я/а). Положения вторых ближайших соседей узла k = 0 определяются векторами ±(bf+b2), ±(bi + bj), =t (b2 + b5). Этим шести векторам обратной решетки, согласно (2.4) и (2.1), соответствуют плоско-
42 . ' «ти, перпендикулярные к осям к„ ку, кг и проходящие через точки кх = ±2я/а, kv = ±2я/а и = ±2я/а, которые отсекают вершины октаэдра и образуют шесть квадратных граней, и при этом все восемь треугольных граней октаэдра превращаются в шестигранники. Таким образом, ЗБ для ГЦК решетри представляет собой усечённый октаэдр — четырнад-цатигранник, изображенный на рис. 1.
Дли определения закона дисперсии є (к) и вычисления эффективной массы электрона в кристаллах плодотворным оказался так называемый к • р-метод [18—23].
Согласно зонной теории, демонстрированной здесь на примере слабосвязанных электронов, энергетический спектр твердого тела состоит из разрешенных зон, отделенных друг от друга запрещенными зонами. Поскольку число квантовых состояний в каждой невырожденной разрешенной зоне равно числу элементарных ячеек в кристалле, а также имеет место принцип Паули, то электроны кристалла при абсолютном нуле температуры заполняют не одну, а несколько наинизших зон. При этом в основном состоянии^кристалла могут иметь место две ситуации: если электроны заполняют несколько низких зон полностью, а следующая зона заполнена частично, то внешнее электрическое поле легко изменяет распределение электронов, заполняющих половину зоны в k-пространстве, и такие кристаллы являются проводниками — металлами; если электроны заполняют определеннее количество низких зон полностью, а все вышележащие зоны пусты, то такие кристаллы ток проводить не могут и являются изоляторами. Действительно, полностью заполненные зоны означают, что во всех k-оостояниях зоны Бриллюэна находятся электроны, и поэтому плотность тока
