Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Для простоты рассмотрим рассеяние носителей заряда, находящихся на данном минимуме, на одной оптической ветви*) и вектор А представим в видё
A == .Eobg, (11.48)
где bg = j g — вектор обратной решетки, а — постоянная решетки, g — единичный вектор, направленный из центра зоны Бриллюэна в рассматриваемый минимум, E0 — константа оптического потенциала деформации с размерностью энергии.
Учитывая последние два соотношения, а также (11.24), для гамильтониана деформационного взаимодействия электронов с длинноволновыми оптическими колебаниями решетки находим **)
Жпт = 2 fee) {*> (ч) exP (^Чг) + Ь* (q) ехр (- jqr)}. (11.49)
*) Полученные при этом результаты следует суммировать по ветвям оптических колебаний.
**) Множитель я/а в этом выражении появился из-за того, чтобы константа ,E10 имела размерность энергии.
110 . ' , Дальнейшие вычисления полностью аналогичны тем, которые сделаны в случае рассеяния на акустических фононах в предыдущем пункте.
В результате для вероятности перехода к ->- к', обусловленного рассеянием на неполярных оптических фононах, аналогично (11.34), получим выражение
(?) + ^kk' (?)), (11-50) ч •
где Лкк' (?) дается формулой (11.35), а
W0 (?) = (nEl/NMv> (q)) (ЯJdf (ge)2. (11.51)
Если не учесть дисперсии оптических фононов, т. е., согласно (11.6), при q -*¦ 0 считать, что
co(?) = co„, (11.52)
то выражение под знаком суммы в (11.50) не будет зависеть от волнового вектора фононов q и суммирование по q становится тривиальным. Тогда имеем
IfonT (к, к') = W0 [W06 (єк, - єк — fca0) + (N0 + 1) б (єк, — єк + йю0)]
(11.53)
здесь
W0 = (nEl/NM(O0) (л/а)2, (11.54)
a
W0 = Ibxp(W^oT7)-I]-1 (11.55)
— число оптических фононов с предельной частотой <а0 при температуре Т; при переходе от (11.51) к (11.54) положен (ge)=l. Энергия оптических фононов Tia0 немала, и рассеяние в этом случае существенно неупруго. Поэтому рассеяние на оптических фононах, вообще говоря, нельзя описать временем релаксации. Однако, если вероятность перехода W(к, к') является четной функцией к', т. е. W(к, k')=W(k, —к'), то можно ввести время релаксации даже при неупругом рассеянии. Действительно, если в (9.7) учтем, что W(k, k')=W(k, — к'), а неравновесная добавка к функции распределения /t ~ к', то при суммировании по к' второе слагаемое в (9.7) исчезает и время релаксации имеет вид *)
Видно, что в этом случае релаксация определяется процессом
*) Этот результат следует также из (9.22). Действительно, при W(к, к') = W(к, —к') интегрирование по углу 0 аннулирует второй член, содержащий v(k) • v(k') = vv' cos 6,
111 ухода электронов из k-состояний, а процесс прихода в это состояние не играет роли.
Указанному выше условию W(к, к')= W(к, —к') удовлетворяет вероятность рассеяния носителей заряда с изотропным законом дисперсии (11.53) на неполярных оптических фононах с предельной частотой со0. Подставляя (11.57) в (11.60) и переходя, согласно (2.15), к интегралу по к', для времени релаксации получим *)
т=5 A [/о (є + ft^ ехр ($¦) + *«•> +
+ 0 (є - Й(00)/0 (ё-Йсо0) I F(E-^co0) , (11.57)
где 0(х)—ступенчатая функция: Q(x) = 0 при х < 0, @(а;)=1 при X > 0; к(є) — произвольная функция от энергии, определяющая закон дисперсии носителей заряда, явный вид которой для модели Кейна дается (3.25) и (3.26).
Отметим, что (11.57) является общим выражением времени релаксации при рассеянии на неполярных фононах, из которого следуют все частные случаи. При высоких температурах, когда к„Т > Tkoо, и можно пренебречь неупругостью, т не зависит от степени вырождения носителей, и из (11.57) с учетом ,(11.55) следует простое выражение времени релаксации для произвольной -изотропиой зоны
1 P а3 1 І де
'«-aftJfrplSJ- <и-58>
, Из сравнения этой формулы с (11.43) видно, что зависимость т (є, Т) при высоких температурах в случае рассеяния на акустических фононах и неполярных оптических фононах одинакова: т (є) (де/дк).
Интересно сравнить длины свободного пробега для этих двух механизмов рассеяния. Из (11.43) и (11.58) следует, что
, 2 / „ \ 2
(11.59)
W = /?iV
'ак ІД/
где ©акта* = yo?ma* — v0ji/a — максимальная частота акустических фононов. Видно, что если предположить Ei « E0, то Zonr A lax, так как ЮактахA Wo. Если Еа>Е1, то рассеяние на неполярных фононах может играть более важную роль: Іопт ^ Ln--
Для параболической зоны к(ъ) = (УЪ) (2mne)1/2, и из (11.58) имеем
*) При этом интегрирование по углам дает An, а интеграл по dk' = = (dk'/де') de' берется с помощью 6-функций по энергиям.
112 В случае невырожденных полупроводников (11.57) принимает вид
Если учйсть, что для простой параболической зоны А (є) = = (1/?) (2тпе)1/2, то из (11.61) имеем
При высоких температурах (к0Т»Tta0l г>Ъо)0) из (11.62) следует (11.60), а при низких температурах (к0Т <7ш0, є<Тгю0) процесс испускания фонона невозможен и
которое определяется только поглощением фонона с энергией є < Tko0.
Видно, что при низких температурах время релаксации на неполярных оптических .фононах от энергии не зависит, а от температуры зависит экспоненциально. Взйв отношение (11.63) к (11.44), легко можно оценить, что при низких температурах ^oni > 4к, т. е. при к0Т < Tko0 доминирующим является механизм рассеяния на акустических фононах.
