Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
При любой степени вырождения уравнение (6.7) не допускает аналитического решения, и найти T1 можно только численными методами. Аналитическое выражение T1 можно найти, если электронный газ невырожден, т. е. когда T1 < —4 и для интеграла Ферми справедлива асимптотика (4.38). Область применимости, полученную при этом, можно расширить и охватить частично вырожденный случай T1 < +1, если использовать аппроксимацион-ную формулу для интеграла Ферми, предложенную в работах
55 [24, 25]. Из (4.36), согласно (5.43) в книге [26], имеем
F3/2(ti) «(ЗУя/4)ехр(.г])/(1 + Сехр(г])) при ц < +1,3, (6.8)
где С = 0,25 [24].
Подставляя (6.8) в (6.7), получим квадратное уравнение, нужное решение которого есть
ехр (Tl) =
/
Nn-CNdY , Nd . (Nn - CNd) ], ..
4Nn .) ЄХР 4/Vn j expC—(6.9)
здесь
Nn = (2 тпк0Т) 3/2/4я 3/2Й3. (6.10)
Концентрация электронов проводимости в этом случае, согласно (4.44) и (6.8), определяется формулой
п = Nn ехр r\/(l + Сехр(ті)) при т) < +1,3, (6.11)
где ехр ті дается (6.9).
Выражение (6.9) весьма ненаглядно, поэтому для его анализа рассмотрим два предельных случая. -
а) Область низких температур, в которой удовлетворяется неравенство
8NnNd/(Nn — CNd)2 ехр (є*) 1. (6.12)
Тогда из (6.9) получим
X = -ed/2 + (k0T/2)ln (NJ2Nn). (6.13)
Из последнего выражения видно, что при абсолютном нуле
температуры уровень Ферми проходит строго посередине между дном зоны проводимости и донор-
\ ^sv_ ными уровнями (рис. 13). Bto-
i ' inv рой член в (6.13) при низких тем-
"К --- пературах, пока 2Nn < Nd, но-
¦|----}----ложителен, а при более высоких
[ J температурах, когда 2Nn>Nt
J_і_ [hq пока сохраняется сильное не-
Ч rm Ti T равенство (6.12)], отрицателен.
Рис. 13." Зависимость уровня Поэтому уровень химического по-Ферми от температуры в тенциала с ростом температуры электронном полупроводнике сначала поднимается, а затем
начинает опускаться, становясь ниже ^-ed/2. Таким образом, ? (T) является функцией с максимумом. Значение ТвМП6рс1ТурЫ 1 ті при котором ? имеет максимум, естественно, зависит от концентрации доноров Nd и определяется из Условия дУдТ = 0.' Это условие, согласно (6.13) и (6.10), дает •
In [Nd/2Nn (Tn)] = 3/2. (6.14)
56 Из (6.14) и (6.10) для температуры, при которой ? = Sm, получаем
Tm = IiH2N2J3/21/3ек0тп; - (6.15)
здесь е ~ 2,72— основание натуральных логарифмов. Тогда, cor- ' ласно (6.13) щ (6.14), для максимального значения химического потенциала при заданной концентрации доноров Nd получим
U =-ed/2 + (3/4 )kjm, (6.16)
где Tm определяется (6.15).
Видно, что с ростом концентрации доноров Nd величина Tm, и следовательно увеличивается. При определенном значении Nd = Ndo максимум химического потенциала может достичь дна зоны проводимости, т. е. ^m = 0. Величину Tm, при которой ?т = = 0, обозначим через T0 и определим ее из (6.16):
T0 = 2ed/3k0. (6.17)
Подставляя в (6.15) вместо Tm величину T0, получим то значение концентрации доноров Ndo, при котором максимум уровня химического потенциала совпадает с дном зоны проводимости:
AU = (4/fc3)(4Jl)3/2ef. (6.18)
Таким образом, получаем, что если донорные примеси с энергией ионизации ed имеют концентрацию Ndo, то электронный газ в зоне проводимости при T = T0 будет находиться в частично вырожденном состоянии ? = 0. При температурах ниже (Т<Т0) и выше (Т>Т0) температуры вырождения T0 полупроводник невырожден. Оценим Ndo и T0 для следующих значений параметров: Bd = 0,005 эВ, mn = 0,02т0. Согласно (6.18) и (6.17) получим Ndo = 2- IO16 см-3 и T0 » 30 К.
Из вышеизложенного следует, что если Nd > Ndо, то максимум химического потенциала t,(Tm) будет находиться выше дна зоны проводимости, и поэтому полупроводник будет иметь две температуры вырождения T1 и T2 (см. рис. 13). Очевидно, тогда электроны проводимости будут вырожденными в области температур T1 < T < T2, а вне этого интервала полупроводник "будет невырожденным. Естественно, когда концентрация доноров значительно больше, чем Ndo, вышеприведенные формулы для S (T) становятся неприменимыми, и нижнюю и верхнюю температуры вырождения (Ti и T2) нужно найти из уравнения (6.7) при условии 11 = 0. Если уЧТЄМ, ЧТО .г 3/2 (0)~1 (см. таблицы в [2]), то из (6.7) получим уравнение для определения T1 и T2:
(2тппк0ТУ/г\А. + exp (BdZk0T) ] = 3n2%3Nd, (6.19)
которое можно решить только численно.
Подставляя (6.13) в (4.46), получим экспоненциальную зависимость концентрации электронов проводимости от температуры
57 в области низких температур
п = (NiN J2)1/2 exp (—Ed/2k0T). (6.20)
б) Область высоких температур, в которой имеет место Nn » »TVd. и неравенство, обратное (6.12). Но будем по-прежнему предполагать, /что собственная проводимость еще не играет существенной роли. В этом случае корень в (6.9) можно разложить в ряд и тогда получим
S = ^T In [TVd/(TVn-CTVd)]. (6.21)
Согласно (6.21) и неравенству, обратному (6.12), в этом интервале температур, когда TVn ^ TVf], уровень химического потенциала опускается ниже-донорных уровней (рис. 13). Поэтому электроны проводимости невырождены.
