Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
1. Общий вид уравнения нейтральности. В общем случае допустим, что полупроводник содержит донорные и акцепторные примеси с концентрациями Nd и Na соответственно и они создают дискретные уровни В запрещенной зоне С энергиями -Ei и —Ea, отсчитанными от дна зоны- проводимости (рис. 12). Очевидно, при абсолютном нуле температуры электроны с донорных уровней перейдут на акцепторные уровни, и в зависимости от отношения NjNa произойдет полная компенсация доноров или акцепторов. Если Nd > Na, то полностью компенсируются акцепторные уровни, а часть донорных уровней Nd = Nd — Na останется нейтральной. Наоборот, если Na > Nd, то донорные уровни ионизуются полностью, а число акцецторов Na = Na - Nd будет нейтральным.
При конечной температуре благодаря тепловым переходам будет иметь место перераспределение электронов и появится
53
I^FK
}na>Nd
Рис. 12. Схема зоны полупроводников с донор-IibJMR и акцепторными примесями определенное количество электронов п в зоне проводимости и дырок р в валентной зоне, а также часть примесей будет в иони-» зованном виде, а часть — в нейтральном виде. В термодинамически равновесном состоянии в полупроводнике установится некоторый уровень Ферми, соответствующий данному распределению зарядов и значению температуры, который определяется из уравнения нейтральности с учетом наличия примесей.
В общем случае уровень Ферми находится из следующего условия нейтральности: сумма концентраций электронов в зоне проводимости п и на акцепторных уровнях па = N.a равна сумме концентраций дырок в валентной зоне р и свободных состояний на донорных уровнях («связанных дырок») pd = Nd = Nd—nd, где Ud — концентрация электронов на донорных уровнях. Таким образом, уравнение нейтральности в общем случае имеет вид
п + Па = P + Pd. (6.1)
Выражения п vi р через уровень Ферми нам известны для различных моделей зон из § 4. Чтобы определить nd и па, воспользуемся выражением для среднего числа электронов на примесном уровне с энергией є,-:
n(eO = [l + ?exp((e<- l)/kj)]-\ (6.2)
которое получено с учетом вырождения примесных уровней в работах [20—22]. Множитель ? в (6.2) учитывает кратность вырождения примесного состояния с энергией є,-.
В случае простой одновалентной донорной примеси, для которой имеет место только спиновое вырождение ? = 1/2, концентрация электронов на донорных уровнях с энергией Є і = —є І, согласно (6.2), будет
nd = Nd
1 + 4 ехр (- (є, + ?)ВД
(6.3)
Следовательно,
Pi = Ni-Ud = iVd['l + 2 ехр((ed + I) Jk0T)]-1. (6.4)
В случае акцепторного типа примеси, захватывающей дополнительный электрон для укомплектования парной связи, фактором спинового вырождения будет ? = 2, так как отсутствие этого электрона может быть описано двояким способом [4]. Тогда, согласно (6.2), концентрация электронов на акцепторных уровнях с энергией Єі = —є0 (см. рис. 12) будет определяться выражением
Ua = Na 1 + 2exp(--|±ij \ (6.5)
Для простоты предположим, что зона проводимости и валентная зона параболичны (рис. 12). Тогда, подставляя (4.44), (5.6), (6.4) и (6.5) в (6.1), получим явный вид уравнения нейтраль-
54 . ности в полупроводниках со стандартной зоной при наличии доноров и акцепторов:
(2т к у\ 3/2
¦ F3j2 (T1) + Na [1 + 2 exp (- є: - T1)]"1 =
OJl ft.
(2m к 7Л3''2
= Л "ll Ps/2 (- Є* - T1) + TVjl + 2 exp (Е* + T1)]-1, :(6.6)
ojt ft
где є* = ed/kQT и є* = EaJk0T. Отметим, что для учета непара-боличиости зоны проводимости в уравнение (6.1) вместо п надо подставить выражение п из (4.43).
Если известны параметры зон тп, тР, Eg и примесей ed, Ea, Nd, Na, то уравнение (6.6) в принципе дает возможность определить приведенный уровень Ферми как функцию температуры и тем самым" найти концентрации свободных носителей заряда п(Т) и р (T). Однако трансцендентное уравнение (6.6) в общем виде относительно T1 решить невозможно. Достаточно отметить, что даже в том случае, когда электроны и дырки невырождены и для интегралов Ферми справедлива асимптотика (4.38), уравнение (6.6) является уравнением четвертого порядка относительно exp(rj), и аналитически его решить нельзя. Поэтому для определения температурной зависимости ц(Т) уравнение (6.6) приходится решать графически или приближенно-аналитическим путем (см., например, [23]).
Уравнение нейтральности (6.6) допускает аналитическое решение только в некоторых частных случаях. Один случай, когда в полупроводнике никаких примесей не имеется (Nd = Na = 0) — собственные полупроводники, был нами рассмотрен в предыдущем параграфе. Здесь остановимся на случаях, относящихся к примесным полупроводникам.
2. Полупроводники с примесями одного типа. Рассмотрим электронный полупроводник: Nd ?* О, TV11 = O. Предположим, что температура не так высока и переходы электронов имеют место только с донорных уровней в зону проводимости. Поэтому концентрация свободных дырок в валентной зоне р = 0 и уравнение нейтральности (6.6) в этом случае принимает вид
(2т к 7Л3/2
1 ;2°.; F312 (T1) = Nd [1 + 2 ехр (є* + T1)]-1. (6.7)
OJl ft.
