Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
В предыдущем параграфе мы установили связь между концентрацией электронов в зоне проводимости п с уровнем Ферми или химическим потенциалом, температурой и параметрами зоны [см. (4.43) или (4.44)]. Для того чтобы найти явный вид температурной зависимости концентраций, необходимо знать химический потенциал как функцию температуры и параметров зоны ? = ^(77, тп, Eg). Эту функцию можно определить из какого-нибудь уравнения или физического условия. Этим условием может быть условие нейтральности кристалла, которое в случае собственных полупроводников и полуметаллов гласит: число свободных электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне:
п(Т, t) = p(T, S).. ' (5.1)'
Явный вид левой части этого уравнения в различных случаях мы нашли в § 4. Теперь найдем концентрацию дырок р(Т, ?). Для- этого прежде всего определим функцию распределения для дырок. Поскольку /о(є) есть вероятность того, что уровень с энергией є занят электроном, то /0Р(є)=1 —/0(є) определяет вероятность того, что уровень с энергией є свободен от электрона, т. е. вероятность наличия дырки на этом уровне. Таким образом, функция распределения, дырок имеет вид
"/сР(е)=1-/0(е)=[1 + ехр((^-е)ад]-1. " (5.2)
Если энергию отсчитываем от дна зоны проводимости вверх, то энергию в валентной зоне можно представить в виде
є = —eg — є', (5.3)
где є' — энергия, отсчитанная от потолка валентной зоны [см. рис. 3 и формулу (3.2)]. Подставляя (5.3) в (5.2) и вводя химический потенциал для дырок
- . Iv=-Bg-t, (5.4)
увидий, что функция распределения дырок в валентной зоне-имеет такой же вид, что и функция распределения электронов.
46 в зоне проводимости:
/ор(е,)=[1 + ехрСе,-?р)УАо2т)1Л (5.5);
где є и ? заменены є' и соответственно.
Тогда, очевидно, для получения выражения концентрации дырок р(Т, ?)- достаточно в выражениях п(Т, ?) заменить га„ и ? на тпр и соответственно. Например, концентрация дырок в параболической валентной зоне при любой степени вырождения будет иметь вид
Р = T1P-^, (5.6)
аналогичный (4.44).
Критерием отсутствия вырождения дырочного газа является неравенство
ехр(ть)<1 или (es + l)/k0T > 4. (5.7)
Тогда в этом случае (5.6), в силу (4.38), примет вид, аналогич- . ный (4.46):
(2т к T^3'2
р=ехр ы=Np ехр (5-8)
Теперь распишем уравнение нейтральности (5.1) для некоторых моделей зоны и определим температурную зависимость концентрации электронов и дырок.
1. Собственные полупроводники с запрещенной зоной конечной ширины. Вначале рассмотрим собственный полупроводник со стандартной зоной, изображенный на рис. 2, с законом дисперсии (3.1) и (3.2). Уравнение нейтральности (5.1) в этом случае, согласно (4.4) и (5.6), имеет вид
mn/2Fm(r\) = TnTFmi-ч-г'), (5.9)
* гй г>
где Eg = -г-=-. dTO уравнение можно решить только численно, о
Однако обычно электронный и дырочный газы в таких полупроводниках бывают невырожденными. Тогда, в силу (4.38), уравнение (5.9) для определения химического потенциала имеет простую форму
ТП%2 ехр (Tl) = Mp2 ехр (— е* — Tl). (5.10)
Отсюда получим
ч = - V2 + T KT In {mvlmn), (5.11)
Видно, что при абсолютном нуле уровень химического потенциала, как и следовало ожидать, проходит посередине запрещен-" ной зоны. С ростом температуры уровень от середины eg отклоняется вверх или вниз в зависимости от соотношения масс. Обычно в полупроводниках тп < тр, и -поэтому уровень химического потенциала с ростом температуры приближается к дну
47 зоны проводимости. При тп = тр уровень Ферми S от температур ры не зависит, если не учесть зависимость Eg от Т.
Подставляя (5.11) в (4.46) и (5.8), получим концентрацию электронов проводимости и дырок в собственном полупроводнике со стандартной зоной:
_ (2 V^rpkJ)¦/« • / ^y
~Pl~ pV 2VT ( '
Исследуя экспериментально температурную зависимость концентрации в собственных полупроводниках и сравнивая ее с экспоненциальной зависимостью (5.12), можно найти термическую ширину запрещенной зоны.
Как следует из (5.11), приближение (5.10), т. е. предположение о том, что электроны и дырки невырождены, законно, когда эффективные массы тп и тр отличаются не очень сильно и ширина запрещенной зоны Ee не очень мала. В этом случае, когда mn<.mv и Eg достаточно .мала, электронный газ нельзя считать невырожденным, он будет частично вырожденным, а дырочный газ можно считать невырожденным. Тогда уровень химического потенциала, согласно (5.9) и (4.38), нужно численно определить из уравнения
(;mJmpf2F3/2 (t1) =(3 /я/4) exp (- t1- є*). (5.9а)
В § 3 мы видели, что валентная зона многих полупроводников, таких как Ge, Si и CdTe, и полупроводников типа A111Bv имеет сложную форму. В частности, в точке к смыкаются две дырочные зоны, поэтому при конечных температурах в таких полупроводниках имеется два типа дырок: тяжелые и легкие дырки. Рассмотрим статистику носителей заряда в собственных полупроводниках с двумя типами дырок. В этом случае условие нейтральности будет иметь вид
n = pi + p2, (5.13)"
где Pi и р2 — концентрации тяжелых и легких дырок соответственно. Подставляя соответствующие выражения в невырожденном случае, из (5.13) имеем і
