Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
1/2
2
(4.61)
Тогда, согласно (1.12), для зависимости т от к получим выражение
1 ' ¦+ ,, Т". ...... <«2)
т (к)
1 +
где тп — эффективная масса на дне зоны проводимости.
Если полупроводник сильно вырожден, то из (4.11) и (4.62) получим зависимость эффективной массы па границе Ферми от концентрации электронов проводимости п:
m (n)/mo = mn/m0
1 — m(n)jm
1 - mJmо
1 +
2%
1 — (ЗЛ2И)2/3
1/2
. (4.63)
Отсюда видно, что если определить из опыта тп(п) и п незави-
Г тп (п)/тп0
СИМЫМИ методами И построить зависимость 1 — (та (ге)М0)
от п2/3, то должна получиться прямая линия. По наклону этой прямой можно оценить Eg или тпп. Получение такой зависимости было бы доказательством правильности моделд Кейна для зоны проводимости данного полупроводника.
Для полупроводников, у которых тпп < тп0, таких как InSb, из (4.63) получим простую зависимость эффективной массы от концентрации
т(га)=тв[1+(2^7тпєЛ(Зп2га)г/3]1/2. (4-64)
43 Как видно из графика, приведенного в работе [5] для антими-нида индия, эта зависимость довольно существенна: при росте концентрации от IOie до 5 ¦ IO18 см-3 эффективная масса растет почти в четыре раза.
Исследования зависимости эффективной массы от концентрации кинетическим и оптическим методами были проведены для многих полупроводников типа A111Bv и A11Bvi. Результаты этих работ, обобщенные в обзоре Завадского [6], показывают, что двухзонная модель Кейна хорошо описывает зону проводимости этих полупроводников, если концентрация электронов проводимости не слишком большая (п < IO19 см-3); для эффективной массы эксперимент дает больше, чем двухзонная модель Кейна (4.63). Учет влияния вышележащих зон на эффективную массу [7] уменьшает различие между экспериментом и теорией Кейна в InSb, а в InAs, хотя согласие теории с экспериментом улучшается, это различие остается и при учете вышележащих зон [8].
В случае сильно непараболической зоны с линейным законом дисперсии (3.27) зависимость эффективной массы от к и, следовательно, в силу (4.11), зависимость тп от концентрации п имеют простой вид
то (ft) = %k/s, ro(n)- (h/s) (Зл2гг),/3. (4.65)
Видно, что зависимость тп от п1/3 должна быть прямой, проходящей через начало координат. Наклон этой прямой непосредственно определяет параметр s, следовательно, и матричный элемент P в (3.17). Линейная зависимость тп от пі/3 при комнатной температуре была получепа в работе [9] для раствора CdeiHg0i9Te.
Ответим, что (4.65) также следует из (4.64) при ее 0, если учесть (3.21).
В том случае, когда электронный газ не является полностью вырожденным, т. е. когда — °° < < 4, из эксперимента определяется некоторое среднее значение то (є). Это среднее можно оценить следующим образом:
OO
то~(е) = -L Ц m (e)g(e) /0 (е, r\) de, при < 4, (4.66) о, 0
где g(e)—плотность состояний, /о(є, ті)—функция распределения (4.1), а интеграл нужно вычислить при значении химического потенциала найденного из равенства для заданной концентрации электрона проводимости
OO
, n = [g (E) U(Et Z) dB. (4.67)
о
Функцию тп(в) в двухзонарй модели Кейна можно получить, если из (4.61)• определить к = к(г) и подставить в (4.62). По-
. 44 скольку эта функция будет иметь довольно громоздкий вид, то мы сделаем это в предположении то„ < то0. В результате имеем простую зависимость эффективной массы от энергии
то(е) = то„(1 + 2e/ss). (4.68): В этом случае подстановка (4.68) в (4.66) дает
Щ&)=тп{ l+2e?eA), ¦ (4.69)
где є определяется из
CXJ
Є = 4-J (є)/0 (Є, Qde (4.70)
о
с учетом (4.67).
Для эллипсоидальной непараболической двухзонной модели Кейна (см. п. 5 § 3), применяемой к зоне проводимости и валентной зоне халькогенидов свинца, из (3.38) следует одинаковая зависимость компонент эффективной массы
1/т±=(1/П2к±)де/дк± и 1/то„ =(1/??) де/дкй (4.71) от энергии е, а именно
т± = Tolo(1 + 2e/eg) и то,, = Тоцо(1 + 2е/ег), (4.72)
В сильно вырожденных полупроводниках PbSe, PbTe и PbS измеряется обычно эффективная масса плотности состояний
Tnd = (Nlmlm я)1'3 (4.73)
на границе Ферми
md(^)=md0(l + 2^/es), (4.74)
где тоі0 дается (4.58).
Подставляя (4.16) в (4.74) и учитывая (4.58), в двухзонной модели Кейна для зависимости эффективной массы плотности состояний от концентрации получаем выражение
md (п) = TOd0[l + (2ft7TOdoeA) (Зл2п) 2/3]1'\ (4.75)
Экспериментальные результаты по зависимости md от концентрации в халькогенидах свинца, как видно из графика, приведенного в [6], хорошо «согласуютсяс (4.75). Это свидетельствует о применимости двухзонной модели Кейна к зонам халькогенидов свинца.
Таким образом, исследования зависимости эффективной массы от концентрации позволяют делать вывод о непараболичности зоны и определить модель, соответствующую зоне данного полупроводника,
45 § 5. Статистика носителей заряда в собственных
полупроводниках и полуметаллах
Рассмотрим идеальный беспримесный полупроводниковый кристалл. При абсолютном нуле температуры он находится в основном — непроводящем состоянии, т. е. валентная зона заполнена электронами полностью, а зона проводимости совершенно пуста. Когда температура отлична от нуля, часть электронов переходит из валентной зоны в зону проводимости и кристалл приобретает свойство проводимости. В этом — возбужденном — состоянии в зоне проводимости имеются свободные злектроны с соответствующей данной температуре концентрацией п, а в валентной зоне — свободные дырки с концентрацией р.
