Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Для параболической зоны (4.43), согласно (4.31), дает
-??,!,), (4.44)
OIt Ї
а для сильно непараболической зоны из (4.43) и (4.32) с учетом (3.21) получим
' ' (4-45)
В случае сильного вырождения (4.44) и (4.45) с учетом (4.37) соответственно переходят в (4.13) и (4.19), Когда элек-•тронный газ невырожден, то, согласно (4,38), для параболической зоны из (4.44) имеем
П = ^Г exP (л) = Nn exp (T1), (4.46)
а для. сильно непараболической зоны из (4.45) получим
"= ^Sexp(T1). (4.47)
яд«
Отметим, что в сильно непараболической зоне при T = 100 К. вырождение отсутствует, т. е. е" < 1, если п 4: 5 • IOls см-3, тогда
40 » как в. параболической зоне с эффективной массой тпп = O1Im0 при такой же температуре вырождение1 отсутствует, когда п < 3 • IOie см-3. Это связано с поведением плотности состояний: при малых значениях энергии є плотность состояний в параболической зоне больше, чем плотность состояний в сильно непараболической зоне, так как в первом случае g(e)~ є1/2, а во втором g(e)~ez. Из сравнения (4.12) и (4.18) следует, что плотность состояний в параболической зоне будет сравнима и больше плотности состояний в сильно непараболической зоне только при энергиях E с?: 2TTlnSi.
3. Многодолинные зоны; эллипсоидальные йзоэнергетические поверхности; эффективная масса плотности состояний. В предыдущей главе міі увидели, что во многих полупроводниках зона проводимости имеет не один минимум в центре зоны Бриллюэна, а обладает несколькими минимумами, расположенными в других симметричных точках k-пространства. Вблизи каждой из этих экстремальных точек йзоэнергетические поверхности являются эллипсоидами. В общем виде эти йзоэнергетические поверхности можно описать уравнением дисперсии
А(е) = ^- (— + — + —\ (4.48)
\ 1 т2 7rlZl
написанным в главных осях эллипсоида, где к — волновой вектор, отсчитанный от экстремальной точки, mt — компоненты эффективной массы на дне зоны, А (е)—произвольная функция энергии.
Если (4.7) умножим на число долин N0, то получим полную концентрацию в зоне проводимости
Для вычисления этого интеграла от k-пространства перейдем в к'-пространство преобразованием
кх = VvJcx, ку= VvJcyr Ar2 = Vv3k'zl (4.50)
где v{ = тпі/тп0, TTi0 — величина размерности массы. Тогда (4.48)' примет вид
s2a:'2
Л (S) = У^. (4.51)
а концентрация
п= 2ЛГ0 (VV3)172
j/0(k')dk'. (4.52)
(2л)3
Из (4.51) видно, что в k'-пространстве йзоэнергетические поверхности сферически-симметричны. Поэтому в (4.52) можно переходить к сферической системе координат в k'-пространстве и интегрировать но углам. После этого в силу (4.51), переходя qt
41 интеграла по dk' к интегралу по ds, получим
at J
о
_ "о (V1VjVi)I^ J /o(e)A„(e) ^ (4>53)
я2
Следовательно, для функции плотности состояний в этом случае имеем
g(s) = к'Чг)^ (4.54)
где
к' (е)= (27п„)1/2Й-'У4(є). (4.55)
Рассмотрим теперь конкретную эллипсоидальную непараболическую модель Кейна (3.39), в которой Wi1 = т2 = тп±, m3 ^ ^ и, следовательно,
V1 = v2svjl=-1 v3^v1,=-
Hi(8) = 8(l+ij. (4.56)
Тогда (4.54) дает
Заметим, что если в (4.15) mn заменить величиной md0, т. е.
mn~y md0^Nf3 (M2^mll (4.58)
то функции (4.15) и (4.57) совпадают. Величина md0 носит название эффективной массы плотности состояний на дне зоны проводимости.
Таким образом, все формулы, полученные в п. 2 настоящего параграфа для полупроводников со сферической изоэнергетиче-ской поверхностью, применимы для полупроводников с эллипсоидальной поверхностью, если в них тп заменить на md<s (4.58), Причем для w-Ge и n-Si это надо сделать в формулах для параболической зоны, полученных на основе функции (4.12) с учетом числа полных эллипсоидов в зоне проводимости для «-германия Nо = 4, а для гс-кремния N0 = 6. Для полупроводников PbTe, PbSe и PbS гс-типа замену т„ ->- md0 следует сделать в формулах для непараболической зоны с учетом N0- = 4.
В заключение отметим, что в модели Коэна (3.40) изоэнергетические поверхности не являются эллипсоидами, и поэтому замена т„ ->- md0 для этой модели неприменима. Плотность состояний в модели Коэна (3.40) определяется выражением
а концентрация носителей заряда в силу (4.10) и (4.59) связана 42 с уровнем Ферми следующим образом:
' в=i2mInir''* [f^ ^ + 4 (4-6°)
где Ttiio дается (4.58), г) = X1Zk0T, ? =?= Ar0TYeg и интеграл Ферми определяется (4.33).
4. Зависимость эффективной массы от концентрации и от энергии. Эффективная масса те (є), определенная- формулой (1.12), не зависит от энергии только в том случае, когда закон дисперсии є = є(к) параболичен. При непараболическом законе дисперсии тп зависит от энергии є (к) или от концентрации носителей тока, что можно выявить, определив эффективную массу на границе Ферми в сильно вырожденных полупроводниковых образцах с различными концентрациями электронов проводимости.
Закон дисперсии (3.24а), полученный из уравнения Кейна (3.10) в приближении є' < eg + V3A0, с учетом (3.18) принимает вид
є (к)
Л2
2т.
+
і + А (1---L)fcii*a
