Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
— oo о
oo
Проинтегрируем один раз по частям и учтем, что j (х/(ех + 1 ))dx =
о
= я2/12. В результате Sfi = (я2/3) (к0Т)г. Подставляя значения Sfl и Sf2. в (4.22), для интеграла вида (4.21) получим выражение, учитывающее температурную поправку к полному вырождению электронного газа:
] (- Щ ф (B) Л = ф (0 + (?) (W + ... (4.25)
Это есть первые два члена асимптотического ряда по степеням температуры.
В случае простой параболической зоны из (4.10), (4.25) и (3.1) для температурной зависимости уровня Ферми в первом приближении по вырождению имеем
I(T)= Ul -(я2/12) (W^)2L У (4.26)
где Sj? дается (4.13).
37 п ¦
Для сильно непараболической зоны (4.10), (4.25) и (3.17) для этой зависимости даюг
?(Г) = Ul -(л2/3) (A0TVk)2]; (4.27)
здесь определяется (4.19).
Сравнение последних двух формул показывает, что понижение уровня Ферми при данной температуре в сильно непараболической зоне больше, чем в параболической зоне, что связано с более сильной зависимостью плотности состояний от энергии в сильно непараболической зоне [см. формулы (4.18) и (4.12)].
В более общем случае при любой степени вырождения и непараболичности зоны связь между концентрацией и уровнем Ферми дается выражением, полученным подстановкой (3.26) в (4.10):
сю
(4.28,
0
где обозначена переменная интегрирования х = г/к0Т и введены параметры: ? = k0T/sg — характеризующий непараболичность зоны, г| = %JkuT — приведенный химический потенциал, характеризующий степень вырождения электронного газа [см. (4.2) и (4.4)], f0(x, г]) = [1 + ехр(х — г|)]-1 — функция распределения Ферми — Дирака.
Интегралы типа (4.28) нам в дальнейшем понадобятся во многих разделах, и поэтому для них введем единое обозначение
Эти интегралы носят название обобщенных или двухпараметри-ческих интегралов Ферми.
Обобщенные интегралы Ферми (4.29) со всеми индексами, встречающимися в кинетической теории, были табулированы Завадским, Ковальчуком и Колодзайчаком [1] в широком интервале параметров т} и ?. В этой же работе были исследованы некоторые асимптотические свойства этих интегралов. Таблицы обобщенных интегралов Ферми в интервалах параметров —5 < т} =? 10 и 0 =? ? =? 1 приведены в приложении книги [2]. Подробный метод вычисления интегралов типа (4.29) можно найти в книге [3].
В сильно вырожденном случае т) > 10, согласно (4.25), интеграл (4.29) для произвольного значения параметра ? можно вычислить приближенно по формуле
T,n+m (1 + ?T])n I4 ^^
(1 + 2?T))A
Tm ІП ft\ ~ 1I (1 -t- PtI) л , я
In.h (Tl > 10, P) « „ , on_.fc i1 + —
(n + m) (n -f- m— 1) 2 ~
2n(n+m)$ 4fe(re + m)? n [n — 1) ?8 4nfc?8
+ T,(l + ?4) tI (1 + 2?r)) (1 + ?r,)2- (l + 2?r,)(l + ?ri) +
,Wf
(1 + 2?T])2
r }• (4-зо)
38 В двух предельных случаях интегралы In,k Ob §) выражаются через одионараметрические интегралы Ферми.
1) Параболические зоны ег -»- 00, т. е. ? -»- О,
In,к (Tl, О) = Fn+m (T1). (4.31)
2) Сильно непараболические зоны гг -*¦ 0, т. е. ? -»-
In,h (ті, оо) = -L &l-hF2n+m_k (г)), (4.32)
где
OO
' рг (Л) = 1(-"?)'xTdx (4-33)
о
есть однопараметрические интегралы Ферми или просто интегралы Ферми.
Интегралы Ферми определяются по-разному: обычно в литературе опи определяются как
OO OO
• = IrS^. (4-34)
О о
а Блекмор [4] определил их как отношение (4.34) к Г(г+1), где Г (г)—гамма-функция (см. ниже). Однако определение (4.33) является самым удобным по двум причинам: во-первых, при таком определении интегралы Ферми, которые входят во все кинетические коэффициенты для параболической зоны, не имеют отрицательных индексов; самый минимальный ипдекс есть нуль, для которого, согласно (4.33),
F0(T1)= [1 + ехр(-г))]-'; (4.35)
во-вторых, при определении (4.33) формулы для кинетических коэффициентов имеют более компактный вид и эти формулы легко обобщаются на более сложные случаи, где вместо однопара-метрических интегралов Ферми входят двух- и трехпараметри-ческие интегралы. Что касается табулирования интегралов
(4.33), то отметим, что их таблицы легко получаются из таблиц
(3.34), имеющихся в литературе, так как они связаны простым соотношением
Fr(Ti) -T^1(T1). (4.36)
Приведем асимптотику интегралов Ферми в двух предельных случаях. Для сильно вырожденного газа, когда T1 > 10, применяя (4.25), для (4.33) получим "
Fr (T1), = Tf (4.37)
39 В случае невырожденного электронного газа, когда е~Г1 > 1, т„ е. T1 < —4, из (4.33) непосредственно следует
ЗД)=Г(г+ 1)ехр(т,), (4.38);.
где
Г (г) = J я'-і 6-? (4.39)
о
— интеграл Эйлера первого рода или гамма-функция. Укажем некоторые свойства гамма-функции, которые в дальнейшем нам понадобятся:
Г(г + 1)= гГ(г) . (4.40);
при любом г,
Г(г) = (г-1)! (4.41);
при г целом и положительном и
Г (1/2)= V я. (4.42)
Из (4.28) и (4.29) погіучим связь между концентрацией и приведенным уровнем Ферми для общего непараболического случая в неявном виде
п-Ч^ЧМ (4.43,
OJt E
Отсюда, в силу (4.30), в случае сильного вырождения можно получить (4.16).
