Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
oo oo
"= ^ Іи {к) кчк = і J •/0 (є) к2 (є) dE- (4-8)
о о
Из последнего выражения видно, что
g(z) = {l/n2)k2(e)dk(e)Jde = {№ji2)dk3(e)Jde (4.?
есть плотность состояний, рассчитанная на единицу объема для произвольной сферически-симметричной зоны.
Интегрируя (4.8) один раз по частям, получим простое выражение для концентрации электронов проводимости в произ-
34 вольной сферической зоне
oo ос
n=]gWU(*)dE-=±§(--df0/dt)k>(t)db. (4.1U)
о о
В случае сильного вырождения, согласно (4.5), из (4.10) находим, что электронный газ с концентрацией п при абсолютном нуле заполняет все состояния в k-пространстве внутри сферы с радиусом
А(?г) = (3лгп)1/3; (4.11)
независимо от конкретного вида закона дисперсии для зоны проводимости k(t,F) = kF носит название граничный радиус Ферми.
Теперь для некоторых конкретных законов дисперсии зоны проводимости определим связь концентрации носителей заряда с границей Ферми и выпишем явный вид критерия вырождения.
Для простой параболической зоны выражения (3.1) и (4.9) дают следующую функцию плотности состояний:
S(Z) = lTv ei/2, - (4.12)
in E
а (3.1) и (4.11) определяют границу Ферми
?г = ?-(Зл2«)2/З. (4.13)
Тогда критерий полного вырождения электронного газа (4.4) в простой зоне будет иметь явный вид
Ъг{Ъягп)т12тпкаТ > 10. (4.14)
В случае непараболической зоны с законом дисперсии (3.26), полученным в двухзонном приближении Кейна, из (4.9) для плотности ростояний получаем выражение
^=^-(1+IK1+if- <"5>
Граница Ферми в непараболической зоне, согласно (3.22), (3.21) и (4.11), связана с концентрацией электронов проводимости следующим образом:
Sf = ~4
PS2 \1/2
1 + ^(3л2л)2/3) -1
(4.16)
При ее->-°° (4.16) переходит в (4.13). Если при этом, кроме нулевого члена, который соответствует параболической зоне, оставить и первый член ~1 /&е, то получим
(4.17)
3* 35 Отсюда видно, что учет непараболичности зоны снижает границу Ферми. Это следует и из того, что плотность состояний (4.15) в непараболической зоне больше плотности состояний (4.12) в параболической зоне с эффективной массой тп, равной эффективной массе на дне непараболической зоны.
В случае сильно непараболической зоны из (3.27) и (4.9) для плотности состояний имеем
г (e)=eYnW, (4.18)
а граница Ферми определяется (3.27) и (4.11): -
Ь = Ь(Зл27г)1/з: (4.19)
Это выражение также следует из (4.16) при е. 0, если учесть (3.21).
Сравним границы Ферми для сильно непараболической зоны ^f(O) и параболической зоны (°°) при одной и той же концентрации. Для этого границы Ферми (°°) для параболической зоны (4.13) и сильно непараболической (4.19) представим соот« ветственно в виде
Mto)= 2mns2(n/n0)2'3, Zf(O)= 2mns2(n/noys, (4.20)
где «о = (1/Зл2) (2mns/b)3 — концентрация, при которой уровни Ферми для параболической зоны с эффективной массой тп и сильно непараболической зоны совпадают, т. е. п0 определяется из уравнения
(?72тп) (Зл2тг„)2/3 = Ь(ЗяЧ),/3.
Из (4.20) видно, что при п < п0 граничная энергия Ферми в сильно непараболической зоне больше, чем в параболической с эффективной массой тп: ?F(0)> ?f(°°) ; при п>п0, наоборот, уровень Ферми в параболической зоне больше, чем в сильно непараболической зоне: ?f(°°)> Sf(O). Отметим, что при TTln = = 0,OIto0 as« IO8 см/с концентрация п0 « IO18 см-3. Такое поведение уровня Ферми связано с различной зависимостью плотности состояний от энергии в параболической (4.12) и сильно непараболической (4.19) зонах. Таким образом, в зависимости от того, что концентрация п больше или меньше п0, вырождение легко снять в параболической или сильно непараболической зоне.
До сих пор на основе (4.10) и (4.5) мы рассматривали электронный газ с заданной концентрацией в зоне проводимости при абсолютном нуле температуры. Предположим, что температура отлична от нуля, но k„T/t, <1, и вычислим концентрацию. Из (4.10) видно, что для этого нужно вычислить интеграл вида
oo
^ = 1(- dU^) Ф (є) de, (4.21)
о
в первом неисчезаюгцем приближении по параметру к0Т/?, < 1, где ф(є)—любая дифференцируемая функция энергии.
36 В нулевом приближении k0T/t,F -»- 0, т. е. когда электронный газ предельно сильно вырожден, в силу (4.5) St = ф(?г). Для вычисления St при конечных температурах воспользуемся свойством (—dfjde). Из рис. 10 видно, что эта производная имеет максимум при є = t,F и в основном отлична от нуля вблизи t,F. Поэтому в (4.21) функцию ф(е) можно разложить в ряд по сте-
oo
пеням (є — ?). Если при этом учтем, что f (— dfjde) de = /0 (O) —
о
— /0 (оо) = 1, то получим
(5 )„t+4-5-. (?)^ +.... (4-22)
где
OO oo
ST1 = J (е - o(--S) de, ^2 = J (Є - de. (4.23)
о O
Введем новую переменную интегрирования X =(є — ?)Zk0T, заменим нижний предел интегралов (-IlZk0T) на — так как I1Zk0T > I, и учтем, что (—Of0Zdx)= exZ (ех + I)2 есть четная функция ех/(ехї)г= е~х/(е~*+ \у. Тогда соответственно (—д{0/дх)х будет нечетной функцией и St і = 0. Для второго интеграла имеем
oo oo
St г = (I4Tf J я2 (- ^0) dx = 2 (к0ТГ J a? (-?) dx. (4.24)
