Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Настоящая глава посвящена статистике носителей заряда в полупроводниках. Знание статистических свойств, в частности распределения носителей заряда в энергетических зонах, и знание связи концентрации свободных носителей тока с уровнем Ферми необходимы при рассмотрении явлений переноса в полупроводниках.
§ 4. Концентрация электронов в зоне проводимости и уровень Ферми. Зависимость эффективной массы от концентрации
Допустим, что в зоне проводимости кристалла объемом V находится N электронов. Кристалл может быть металлом, полуметаллом или полупроводником. Исследуем статистику этого электронного газа в зависимости от закона дисперсии зоны проводимости и от температуры.
1. Функция распределения и критерий вырождения. Как известно, электронный газ подчиняется квантовой статистике Ферми — Дирака, согласно которой среднее число заполнения состояния к с энергией є (к) электронами определяется функцией распределения
где є (к) — энергия электрона, отсчитанная от дна зоны проводимости, Ic0 — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, ? — уровень Ферми или химический потенциал — свободная энергия в расчете на один электрон. В условиях термодинамического равновесия S должен быть постоянен всюду в образце, а его величина и знак определяются температурой, эффективной массой электрона и заданной концентрацией электронного газа, т. е. S = S m^ Т), где п = N/V — концентрация электронов проводимости. В зависимости от указанных параметров S Для электронного газа может принимать значения в интервале
— OO < g < + оо.
32 Поскольку /о (к) есть среднее число электронов в состоянии к с энергией є (к), и электронный газ подчиняется принципу Паули, то /о (є) может принимать значения только в интервале
При больших отрицательных значениях химического потенциала
-Ifk9T > 4 или exp {-l/kj) ^> 1 (4.2)
из (4.1) следует, что для всех є(к)>0 функция /0(е)<1 и переходит в классическое распределение Больцмана
/0(к) = ехр(Ц±Э). (4.3)
Электронный газ с химическим потенциалом, удовлетворяющим условию (4.2), называется, невырожденным, н, следовательно, (4.2) в общем виде есть критерий того, что электронный газ невырожден.
При больших положительных значениях химического потенциала
IZk0T > 10 или ехр(?//с„Г)> 1 (4.4)
электронный газ называется сильно вырожденным. Интервал —4 < t,/kaT < 10 составляет промежуточный случай, когда электронный газ находится в частично вырожденном состоянии.
Рассмотрим зависимость /0(е) от энергии є для различных значений температуры T при заданном положительном значении химического потенциала S = Sf, что соответствует определенному постоянному значению концентрации электронов в зоне проводимости. Из (4.1) следует, что при T = 0 для всех значений Є < Sf /о (є) = 1, а для є >Sf /о(є) = 0 (рис. 10), т. е. при абсолютном нуле все состояния в зоне проводимости ниже уровня Sf заполнены, а выше — пусты. Значение энергии Є = Sf, ниже которого ВСЄ уровни в зоне проводимости заняты, а выше — все уровни пусты, называется границей Ферми.
При конечной температуре T > 0, согласно (4.1), /0(е)=1 при энергиях (е-Б,)/WC-I, /о (є)= 0 при (є — %F)/k0T > 1 и /о (е) = 1/2 при E = Sf- В этом / случае функция распределения (число заполнения) с ростом энергии плавно переходит от значения /0 = 1 к значению -/0 = 0, причем, чем выше температура, тем больше «расплывчатость» этого перехода (рис, 10),
З Б. М. А споров
33
Рис. 10. Функция распределения для вырождепного электронного газа. Штриховой линией показана производная функции распределения (без соблюдения масштаба) На рис. 10 также показана производная функции /0(е). Видно, что при T > 0 производная (—dfjds) имеет острый симметричный максимум в точке е = Когда температура приближается к абсолютному нулю, он ведет себя как б-функция
(- dfjdє)г_0 = б (є - У). (4.5)
Теперь установим явный вид критериев невырождения (4.2) и вырождения (4.4), находя связь между химическим потенциалом, концентрацией, эффективной массой электронов проводимости и температурой. Для этого вычислим равновесную концентрацию электронов В зоне проводимости. Поскольку /о (к) есть среднее число электронов в k-состоянии, то полное среднее число электронов в зоне проводимости
ЛГ = 2 2/0(к), (4.6)
к
где множитель 2 учитывает тот факт, что в одном к-состоянии могут находиться два электрона с противоположными спинами.
Учитывая (2.15), из (4.6) для концентрации электронов п = NJV получим
Как видно из (4.1), /0(к) от к зависит через е(к). Поэтому для вычисления интеграла (4.7) необходимо знать закон дисперсии є = є(к) для зоны проводимости. В первой главе мы изложили некоторые основные модели зоны проводимости. Определим концентрацию электронов проводимости для этих моделей.
2. Сферически-симметричные зоны. Рассмотрим зону, в которой изоэнергетическая поверхность представляет собой сферу, но энергия электрона является произвольной функцией величины волнового вектора. В частности, это имеет место в модели Кейна (п. 3 § 3). В этом случае функция /0 также будет зависеть только от модуля h, так как она зависит от к через е(к), и поэтому в (4.7) можно переходить к сферической системе координат в k-пространстве и легко проинтегрировать по углам. После этого удобно от интегрирования по dk переходить к интегралу по dz. Тогда получим
