Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
в) Докажите, что объем элементарной ячейки решетки Бравэ равен
U=Ia1-(H2Xa3)I, (5.17)
где аг- — три основных вектора. [В сочетании с (5.15) это показывает, что объем элементарной ячейки обратной решетки равен (2л)3/ v. ]
2. а) Воспользовавшись основными векторами (4.9) и построением (5.3) (или поступая каким-либо иным образом), покажите, что решетка, обратная к простой гексагональной решетке Бравэ, также является простой гексагональной, причем для нее постоянные решетки равны 2я/с и 4л/у^3 а и она повернута на 30° вокруг оси с по отношению к прямой решетке.
б) При каком значении с!а это отношение одинаково как в прямой, так и в обратной рзтетках? Если отношение с/а имеет идеальное значение в прямой решетке, каково его значение для обратной решетки?
в) Решетку Бравэ, порождаемую тремя основными векторами равной длины а, составляющими равные углы 0 друг с другом, называют тригопальной решеткой (см. гл. 7). Покажите, что решетка, обратная к тригональной решетке Бравэ, также является три-гональной, причем угол 8* дается выражением — cos 0* = cos 0/[1 + cos в], а длина а* основных векторов такова: а* = (2л/а) (1 + 2 cos 8 cos 8*)-1/2.
3. а) Покажите, что плотность точек решетки (в расчете на единицу площади) в атомной плоскостях равна d/v, где v — объем элементарной ячейки, a d — расстояние между соседними плоскостями в семействе, которому принадлежит данная плоскость.
б) Докажите, что в г.ц.к. решетке Бравэ плотность точек максимальна в атомных плоскостях {111), а в о.ц.к. решетке Бравэ — в плоскостях (110). (Указание. Легче всего это сделать, воспользовавшись соотношением между семействами плоскостей решетки и векторами обратной решетки.)
4. Докажите, что любой вектор К обратной решетки является целым кратным наименьшего из параллельных ему векторов обратной решетки K0. (Указание. Предположите обратное и покажите, что, поскольку обратная решетка является решеткой Бравэ, должен существовать вектор обратной решетки, параллельный К и меньший K0.)ГЛАВА З
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
ФОРМУЛИРОВКИ БРЭГГА И ЛАУЭ УСЛОВИЕ ЛАУЭ И ПОСТРОЕНИЕ ЭВАЛЬДА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ: МЕТОД ЛАУЭ, МЕТОД ВРАЩАЮЩЕГОСЯ КРИСТАЛЛА, ПОРОШКОВЫЙ МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР АТОМНЫЙ ФОРМ-ФАКТОР
Типичные межатомные расстояния в твердом теле имеют порядок ангстрема (10~8 см). Следовательно, для электромагнитного зондирования микроскопической структуры твердых тел необходимо использовать излучение с длиной волны, не превышающей этого расстояния, и соответственно с энергиями порядка
ПІ0=41=, hH ~ 12>3-Ю3 эВ. (U.1)
A, Iir8 CM к '
Подобными энергиями — порядка нескольких тысяч электрон-вольт (кило-электрон-вольт, или кэВ) — обладают рентгеновские лучи.
В настоящей главе мы покажем, каким образом распределение рентгеновских лучей, рассеянных на жесткой *) периодической 2) ионной решетке, позволяет определить положение ионов в этой структуре. Существуют два эквивалентных способа рассмотрения рассеяния рентгеновских лучей на идеальной периодической структуре, которые были предложены Брэггом и Лауэ. Оба способа широко применяются до настоящего времени. Подход Лауэ, основанный на использовании обратной решетки, ближе по духу к современной физике твердого тела, тем не менее подход Брэгга все еще широко применяется специалистами по рентгеновской кристаллографии. Оба они описаны ниже наряду с доказательством их эквивалентности.
1J В действительности ионы колеблются около своих положений равновесия (см. гл. 21—26). Это не влияет на выводы, к которым мы приходим в настоящей главе (хотя в первое время исследователям, занимавшимся рентгеновской дифракцией, оставалось неясным, почему такие колебания не размывают картины, характерной для рассеяния па периодической структуре). Оказывается, что колебания приводят к двум основным следствиям (см. т. 2, приложение О): а) интенсивность типичных максимумов, позволяющих восстановить структуру кристалла, понижается, но не обращается в нуль; б) возникает более слабое непрерывное фоновое излучение («диффузный фон»).
2) Аморфные твердые тела и жидкости имеют примерно ту же плотность, что и кристал-
лические твердые тела, поэтому для их «зондирования» также могут быть использованы рентгеновские лучи. Однако характерные для кристаллов дискретные острые максимумы рассеянного излучения в этом случае не обнаруживаются.Определение кристаллических структур
105'
ФОРМУЛИРОВКА БРЭГГА УСЛОВИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ НА КРИСТАЛЛЕ
В 1913 г. У. Г. Брэгг и У. Л. Брэгг обнаружили, что вещества, являющиеся по своей макроскопической форме кристаллами, дают чрезвычайно характерные картины отражения рентгеновского излучения, совершенно непохожие на те, которые получаются для жидкостей. Они обнаружили, что в кристаллических
*-——«-•-•-•-0
•--•-•-•-•
•-•-•-•-•-•
Фиг. 6.1. Брэгговское отражение от опре- Фиг. 6.2. Брэгговскпй угол 0, равный деленного семейства атомных плоскостей, половине полного угла отклонения падаю-