Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 65

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 203 >> Следующая


В простой кубической решетке Бравэ обратная решетка также является простой кубической и индексы Миллера служат координатами вектора нормали к плоскости, взятыми в выбранной очевидным образом кубической координатной системе. Г. ц. к. и о. ц. к. решетки Бравэ обычно описывают с помощью условной кубической ячейки, т. е. как простые кубические решетки с базисами. Поскольку каждая атомная плоскость в г. ц. к. и о. ц. к. решетках представляет собой также атомную плоскость соответствующей простой кубической решетки, для обозначения атомных плоскостей можно воспользоваться тем же способом задания индексов, что и в простой кубической решетке. На практике только при рассмотрении некубических кристаллов существенно, что индексы Миллера представляют собой координаты нормали в системе, определяемой не прямой, а обратной решеткой.

Существует одна геометрическая интерпретация индексов Миллера для прямой решетки, которую иногда используют в качестве альтернативного способа их определения. Поскольку плоскость решетки с индексами Миллера А, к, I перпендикулярна вектору обратной решетки К = Ab1 + Tcb2 -f Zb3, то при определенном выборе постоянной А она будет содержаться в геометрической плоскости, определяемой уравнением К -г — А. Эта плоскость пересекает оси, направленные по основным векторам а(- прямой решетки, в некоторых точках ^ja1, х2а2 и ?sa3 (фиг. 5.4), где Xi определяется требованием того, что величина XiSi удовлетворяла уравнению плоскости: К - (xt а,) = А. Так как К-aj = 2nk, К а2 = 2пк и К а3 = 2л^, получаем

*2 = ~2ЇЙГ' (5>13) •102

Глава 4

Следовательно, отрезки, отсекаемые на осях кристалла атомной плоскостью, обратно пропорциональны индексам Миллера этой плоскости.

Кристаллографы переворачивают всю проблему с ног на голову и определяют индексы Миллера как набор не имеющих общего множителя целых чисел,

которые обратно пропорциональны длинам отрезков, отсекаемых кристаллической плоскостью на осях кристалла:

h:k:l = — : — :—. (5.14)

X1 X2 X3

НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛА ОБОЗНАЧЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЙ

Атомные плоскости обычно обозначают, указывая в скобках их индексы Миллера (h, к, I). Например, в кубической системе плоскость с нормалью (4, —2, 1) [или с кристаллографической точки зрения плоскость, отсекающую отрезки (1, —2, 4) на осях куба] называют плоскостью (4, —2,1). Запятые опускают и, чтобы не возникло путаницы, тем самым более простое обозначение (421). Чтобы такие символы можно было однозначно интерпретировать, необходимо знать, как выбраны используемые оси. Когда кристалл имеет кубическую

Фиг. 5.4. Кристаллографическое определение индексов Миллера атомных плоскостей.

Заштрихованная плоскость может представлять собой часть атомной плоскости или же любую плоскость, параллельную атомной плоскости. Индексы Миллера обратно пропорциональны ж,.

записывают п вместо —п, получая

(010)

(по)

Фиг. 5.5. Три атомные плоскости и их индексы Миллера для простой кубической решетки

Бравэ.

симметрию, всегда принято использовать оси простой кубической ячейки. Некоторые примеры плоскостей для кубических кристаллов показаны на фиг. 5.5.

Аналогичные обозначения используются для направлений в прямой решетке, но при этом, однако, чтобы избежать путаницы с индексами Миллера (для направлений в обратной решетке), применяют квадратные, а не круглые скобки. Так, пространственная диагональ простой кубической решетки имеет направление [1 1 1], а в общем случае радиус-вектор ^a1 + п2а2 + п3а3 имеет направление Ira1W2^3] по отношению к началу отсчета.

Существует также обозначение, указывающее не только одно семейство атомных плоскостей, но и все другие семейства, которые эквивалентны ему Обратная решетка

103

в силу симметрии кристалла. Например, в кубическом кристалле плоскости (100), (010) и (001) эквивалентны. В совокупности их обозначают как плоскости {100}; в общем случае для обозначения плоскостей (hkl) и всех других плоскостей, эквивалентных им в силу симметрии кристалла, пользуются символом {hkl}. Сходное правило применяют и в отношении направлений: направления [100], [010], [001], [100], [010] и [001] в кубическом кристалле называют направлениями ( 100 ) .

На этом завершается наше общее геометрическое обсуждение свойств обратной решетки. В гл. 6 мы встретимся с важным примером практического использования этого понятия в теории дифракции рентгеновских лучей в кристалле и убедимся в его эффективности.

ЗАДАЧИ

1. а) Докажите, что определяемые выражениями (5.3) основные векторы обратной решетки удовлетворяют соотношению

Ь-^ХЬ^^ЩЬ- (5-15)

[Указание. Запишите bj (но не Ь2 или Ь3) через а; и воспользуйтесь соотношением ортогональности (5.4).]

б) Предположим, что основные векторы построены из Ьг тем же самым образом [см. (5.3)], как Ьг построены из аг. Докажите, что эти векторы тогда просто совпадают с а;, т. е. покажите, что

„ДГХ — ит-д- (5Л6)

[Указание. Выразите Ь3 (но не Ь2) в числителе через а;, используйте векторное тождество А X (В X С) = В (А ¦ С) — С (А • В) и воспользуйтесь соотношением ортогональности (5.4), а также полученным выше результатом (5.15).]
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed