Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Семейством атомных плоскостей решетки мы называем множество параллельных равноотстоящих друг от друга атомных плоскостей, которые в совокупности содержат все точки трехмерной решетки Бравэ. Любая атомная плоскость является членом какого-либо семейства. Очевидно, разбиение решетки Бравэ на семейство атомных плоскостей далеко не однозначно (см. фиг. 5.3). Обратная решетка позволяет очень просто классифицировать всевозможные семейства атомных плоскостей. Классификация основана на следующей теореме:
Для всякого семейства атомных плоскостей, отстоящих друг от друга на расстояние d, существуют такие векторы обратной решетки, которые перпендикулярны к этим атомным плоскостям, причем наименьший из них имеет длину 2лId. Наоборот, для всякого вектора К обратной решетки существует семейство атомных плоскостей, которые перпендикулярны вектору К и отстоят друг от друга на расстояние d, где 2nid — наименьший вектор обратной решетки, параллельный К.
а
6
Фиг. 5.2. Первая зона Бриллюэна для о. ц. к. (о) и г. ц. к. (б) решетки.
АТОМНЫЕ ПЛОСКОСТИ •100
Глава 4
Эта теорема непосредственно следует, во-первых, из определения (5.2) векторов обратной решетки как волновых векторов таких плоских волн, которые обращаются в единицу на всех узлах решетки Бравэ, и, во-вторых, из того
Фиг. 5.3. Некоторые атомные плоскости (темные) простой кубической решетки Бравэ.
Показаны два различных способа (а и б) разбиения решетки на семейства «томных плоскостей.
факта, что плоская волна принимает одинаковые значения во всех точках, принадлежащих семейству плоскостей, которые перпендикулярны волновому вектору и отстоят на целое число длин волн друг от друга.
Докажем вначале первую часть теоремы. Пусть дано некоторое семейство плоскостей решетки и п — единичный вектор нормали к плоскостям. Тогда К = 2япId является вектором обратной решетки; это следует из того, что плоская волна еІК г постоянна в плоскостях, перпендикулярных вектору К, и имеет одинаковое значение в плоскостях, отстоящих друг от друга на расстояние "к = 2я/К = d. Так как одна из атомных плоскостей содержит точку г = 0 в решетке Бравэ, величина eiK r должна быть равна единице для любой точки г на любой из этих плоскостей. Поскольку такие плоскости содержат все точки решетки Бравэ, то eiK r = 1 для всех R и К действительно представляет собой вектор обратной решетки. Кроме того, вектор К является наименьшим вектором обратной решетки, перпендикулярным данным плоскостям, поскольку любой вектор, имеющий меньшую величину, чем К, давал бы плоскую волну с длиной волны больше 2п/К = d. Такая плоская волна не будет иметь одинакового значения во всех плоскостях семейства, а поэтому не может представлять собой плоскую волну, обращающуюся в единицу во всех точках решетки Бравэ.
Докажем обратное утверждение теоремы. Пусть дан некоторый вектор обратной решетки, и пусть К — наименьший параллельный ему вектор обратной решетки. Рассмотрим множество таких плоскостей в реальном пространстве, на которых плоская волна еІК г имеет значение, равное единице. Эти плоскости (одна из которых содержит точку г = 0) перпендикулярны вектору К и отстоят друг от друга на расстояние d = 2я/К. Так как любой из векторов R решетки Бравэ удовлетворяет условию eiK R = 1 для каждого вектора обратной решетки, то все они должны лежать в указанных плоскостях, т. е. это семейство плоскостей должно содержать в себе семейство атомных плоскостей. Кроме того, расстояние между плоскостями решетки также равно d (а не целому числу d), поскольку, если бы лишь каждая п-я плоскость из этого семейства
а
6 Обратная решетка
101
содержала в себе точки решетки Бравэ, то тогда в соответствии с первой частью теоремы нормальный к плоскостям вектор длиной 2л Ind, т. е. вектор К In, являлся бы вектором обратной решетки. Это противоречило бы нашему первоначальному предположению о том, что не существует вектора обратной решетки, который был бы параллелен вектору К и имел меньшую длину.
ИНДЕКСЫ МИЛЛЕРА АТОМНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Соответствие между векторами обратной решетки и семействами атомных плоскостей дает удобный способ указания ориентации атомной плоскости. Вообще говоря, ориентация плоскости описывается путем задания вектора нормали к этой плоскости. Поскольку мы знаем, что для всякого семейства атомных плоскостей существуют нормальные к нему векторы обратной решетки, то естественно выбрать в качестве нормали такой вектор обратной решетки. Чтобы сделать этот выбор однозначным, выбирают наименьший из указанных векторов. Таким путем мы определяем индексы Миллера данной плоскости.
Индексы Миллера некоторой атомной плоскости — это координаты наименьшего вектора обратной решетки, перпендикулярного данной плоскости, в системе координат, заданной основными векторами обратной решетки. Следовательно, плоскость, имеющая индексы Миллера h, k, I, перпендикулярна вектору обратной решетки Ab1 + kb2 + ^b3.
Определенные подобным образом индексы Миллера должны быть целыми числами, поскольку любой вектор обратной решетки представляет собой линейную комбинацию трех основных векторов, взятых с целыми коэффициентами. Так как для задания нормали к поверхности используется наименьший перпендикулярный вектор обратной решетки, индексы А, к, I не могут иметь общего множителя. Заметим также, что индексы Миллера зависят от выбора основных векторов.
