Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Можно дать и более простое доказательство исходя из того, что, согласно основному определению (5.2), решетка, обратная к обратной, представляет собой совокупность всех векторов G, удовлетворяющих условию
eiGtK = i (5.9)
для всех векторов К, принадлежащих обратной решетке. Поскольку таким свойством обладает любой вектор прямой решетки R [опять в силу (5.2)], отсюда следует, что все векторы прямой решетки принадлежат решетке, являющейся обратной к обратной. Никаких других векторов, кроме этих, быть не может, поскольку, если вектор не принадлежит прямой решетке, то он имеет вид г = = ^iax + ;r2a2 + ?заз> гДе по меньшей мере один из коэффициентов Xi является не целым числом. Для этого значения і имеем eibi'r = е2ліхі 7t 1 и условие (5.9) для вектора обратной решетки К = bj нарушается.
ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ
Обратной решеткой по отношению к простой кубической решетке Бравэ, сторона кубической элементарной ячейки которой равна а, является простая кубическая решетка с кубической элементарной ячейкой со стороной 2л/а. Это видно, например, из построения (5.3), поскольку, если
at = ax, а2 = ау, a3 = rzz, (5.10)
то
Ь2я " , 2л " , 2л /с л л\
1 = — X, Ь2 —у, Ь3 = —z. (5.11)
Для гранецентрированной кубической решетки Бравэ со стороной условной кубической ячейки а обратной решеткой является объемноцентрированная кубическая решетка со стороной условной кубической ячейки Ал/а. Это можно показать, применяя построение (5.3) к основным векторам (4.5) гранецентрированной кубической решетки. В результате получаем
bI = -T-T + b2 = ^i-(z + i-y),
, fa 1 ," , -Ь3 = —"2" (х+У —z).
(5.12) •98
Глава 4
По форме эти векторы совпадают с основными векторами о. ц. к. решетки [см.(4.4)] при условии, что сторона кубической ячейки взята равной 4я/а.
Для объемноцентрированной кубической решетки со стороной условной кубической ячейки а обратной является г.ц.к. решетка со стороной условной кубической ячейки 4п/а. Это вновь можно доказать, используя построение (5.3), однако можно воспользоваться и полученным выше результатом для решетки,
а 6
Фиг. 5.1. а — основные векторы для простой гексагональной решетки Бравэ; б — основные векторы для решетки, обратной той, которая порождена основными векторами
рошетки а.
Оси с и с* параллельны. Ось а* повернута на 30° по отношению к оси а в плоскости, перпендикулярной осям о и с* . Обратная решетка также является простой гексагональной.
обратной по отношению к г. ц. к., если учесть теорему о том, что решетка, обратная к обратной, представляет собой исходную решетку.
Мы оставляем читателю в качестве упражнения (см. задачу 2) проверку того, что решетка, обратная к простой гексагональной решетке Бравэ с постоянными решетки с и а (фиг. 5.1, а), есть также простая гексагональная решетка с постоянными решетки 2яIc и 4я/]ЛЗа (фиг. 5.1, б), повернутая на 30° вокруг с-оси по отношению к прямой решетке 1J.
ОБЪЕМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ ОБРАТНОЙ РЕШЕТКИ
Если V — объем элементарной ячейки прямой решетки 2), то элементарная ячейка обратной решетки имеет объем (2яУIv. Это доказано в задаче 1.
ПЕРВАЯ ЗОНА БРИЛЛЮЭНА
Элементарную ячейку Вигнера — Зейтца (см. стр. 85) для обратной решетки называют первой зоной Бриллюэна. Как и предполагает такое название, можно определить также следующие зоны Бриллюэна, которые являются элементарными ячейками иного рода. Они возникают в теории электронных уровней в периодическом потенциале и будут опийаны в гл. 9.
Г. п. у. структура не является решеткой Бравэ, поэтому при изучении твердых тел с такой структурой используют решетку, являющуюся обратной к простой гексагональной (см. примечание 1 на стр. 96).
2) Как было доказано в гл. 4, объем элементарной ячейки не зависит от ее выбора. Обратная решетка
99
Хотя термины «ячейка Вигнера — Зейтца» и «первая вона Бриллюэна» относятся к идентичным геометрическим построениям, тем не менее последний из них фактически используется лишь для обозначения ячейки в &-пространст-ве. В частности, когда говорят о первой зоне Бриллюэна некоторой решетки Бравэ в /--пространстве (связанной с какой-то кристаллической структурой),
то всегда имеют в виду ячейку Вигнера — Зейтца для соответствующей обратной решетки. Например, поскольку обратной для о. ц. к. решетки является г. ц. к. решетка, то первая зона Бриллюэна о. ц. к. решетки (фиг. 5.2, а) есті» просто г. ц. к. ячейка Вигнера — Зейтца (см. фиг. 4.16). Наоборот, первая зона Бриллюэна г. ц. к. решетки (фиг. 5. 2,6) есть просто о. ц. к. ячейка Вигнера — Зейтца (см. фиг. 4.15).
Существует тесная связь между векторами обратной решетки и атомными плоскостями прямой решетки. Такая связь оказывается важной для понимания фундаментальной роли обратной решетки в теории дифракции, как мы увидим в следующей главе. Здесь же мы рассмотрим это соотношение с общей геометрической точки зрения.
Атомная плоскость некоторой решетки Бравэ определяется как любая из плоскостей, содержащих по меньшей мере три не лежащих на одной прямой точки этой решетки. Из-за трансляционной симметрии решетки Бравэ любая такая плоскость в действительности содержит бесконечно много точек решетки„ которые образуют на плоскости двумерную решетку Бравэ. Некоторые плоско*-сти простой кубической решетки Бравэ изображены на фиг. 5.3.
