Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
б) Докажите, что решетку Бравэ межно определить как дискретный набор векторов, не лежащих в одной плоскости, и являющийся полным в отношении сложения и вычитания (как это говорилось на стр. 82).
ЛИТЕРАТУРА
1. Wyckojf R. W. G., Crystal Structures, 2nd ed., Interscience, New York, 1963. ГЛАВА З
ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПЕРВАЯ ЗОНА БРИЛЛЮЭНА АТОМНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ИНДЕКСЫ МИЛЛЕРА
В большинстве случаев обратная решетка играет важную роль при анализе периодических структур. К ней приходится обращаться в таких разных задачах, как теория дифракции в кристалле и абстрактное исследование функций с периодичностью решетки Бравэ или при решении вопроса о том, что остается от закона сохранения импульса, когда полная трансляционная симметрия свободного пространства снижается до симметрии периодического потенциала. Настоящая короткая глава посвящена общему описанию ряда важных элементарных свойств обратной решетки, без связи с какими-либо конкретными приложениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ РЕШЕТКИ
Возьмем множество точек R, составляющее решетку Бравэ, и плоскую волну eik'r. При произвольном к такая волна, конечно, не имеет периодичности решетки Бравэ, однако она может иметь ее при определенном выборе волнового вектора. Множество волновых векторов К называют обратной решеткой, если плоская волна с k = К имеет периодичность данной решетки Бравэ. Аналитически это означает, что К принадлежит обратной решетке данной решетки Бравэ с точками R, если для любого г и всех R из решетки Бравэ справедливо равенство
eiK-(r+R) = e»K.r. (5.1)
Поделив левую и правую части равенства (5.1) на eiK r, мы видим, что обратную решетку можно описать как множество таких волновых векторов К, для которых
e1K-R=l (5.2)
при всех R, принадлежащих решетке Бравэ.
Заметим, что обратная решетка определена обязательно по отношению к некоторой конкретной решетке Бравэ. Решетку Бравэ, соответствующую данной обратной решетке, принято называть прямой решеткой. Подчеркнем также, что хотя набор векторов К, удовлетворяющих условию (5.2), можно •96
Глава 4
определить для любого множества векторов, тем не менее такой набор векторов называют обратной решеткой лишь в том случае, если множество векторов R является решеткой Бравэ *).
ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА КАК РЕШЕТКА БРАВЭ
То обстоятельство, что обратная решетка представляет собой решетку Бравэ, наиболее непосредственно следует из определения решетки Бравэ, приведенного в примечании на стр. 82, если заметить, что, когда векторы Ki и K2 удовлетворяют условию (5.2), ему удовлетворяет также сумма и разность этих векторов.
Полезно, однако, рассмотреть более громоздкое доказательство, дающее явный алгоритм построения обратной решетки. Пусть alt а2 и а3 — набор основных векторов прямой решетки. Тогда обратную решетку порождают следующие три основных вектора:
Jj _ 2л аз х Яз 1 S1-(B2Xa3) •
(5-3)
aX X
J3-^Ji аі.(а2><аз)
Ь, = 2л
Чтобы убедиться, что (5.3) действительно образуют набор основных векторов для обратной решетки, заметим вначале, что векторы Ьг удовлетворяют соотношению 2)
Ь;-а;= 2лбі;-, (5.4)
где б а — дельта-символ Кронекера:
6Г°: (5.5)
S0- = I, I = ]-
Далее, любой вектор к можно записать в виде линейной комбинации 3) векторов Ьг:
k = Zc1Ij1 + к2Ъ2 + /с3Ь3. (5.6)
Если R — произвольный вектор прямой решетки, то
R = ^a1 + п2 а2 + п3 а3, (5.7)
где Tii — целые числа. Из (5.4) следует, что
k-R = 2л (Zc1^1 -f к2п2 -f k3ns). (5.8)
Чтобы величина eik R равнялась единице для всех R [см. (5.2)], произведение к-R должно быть равно целому числу, умноженному на 2л, независимо от вы-
В частности, если имеется решетка с базисом, то попользуют обратную решетку, относящуюся к соответствующей решетке Бравэ, а не набор векторов К, который удовлетворял бы условию (5.2) для всех векторов R, описывающих как решетку Бравэ, так п точки оазиса.
2) При і ф j соотношение (5.4) следует из того, что-векторное произведение двух векторов ортогонально им обоим. При і = j оно следует пз векторного тождества
ai-(a2X а3),= а2 • (as X at) = а3 • X as).
3) Это справедливо для любых трех векторов, которые не лежат все в одной плоскости. Можно показать, что векторы Ь; действительно не лежат в одной плоскости, если векторы a j не лежат в одной плоскости. Обратная решетка
97
бора целых чисел Ui. Это означает, что коэффициенты Ui должны быть целыми. Следовательно, условие (5.2), определяющее вектор обратной решетки К, выполняется только для тех векторов К, которые могут быть представлены в виде комбинаций (5.6) из векторов Ьг с целыми коэффициентами. Поэтому [см. (4.1)] обратная решетка является решеткой Бравэ и векторы Ьг могут быть взяты в качестве основных векторов.
РЕШЕТКА, ОБРАТНАЯ К ОБРАТНОЙ
Обратная решетка сама является решеткой Бравэ, поэтому можно построить ее обратную решетку. Оказывается, что она представляет собой просто исходную прямую решетку.
Один из способов доказательства заключается в построении по векторам Ьг векторов Ci, C2 и C3 согласно формулам (5.3), использованным для построения Ь, по аг. Тогда из простых векторных тождеств находим (см. задачу 1), что сг = = і — 1) 2; 3•
