Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку при определении ячейки Вигнера — Зейтца мы не использовали никакого конкретного выбора тройки основных векторов, ячейка Вигнера — Зейтца должна быть столь же симметричной, как и решетка Бравэ 3).
Ячейка Вигнера — Зейтца для двумерной решетки Бравэ изображена на фиг. 4.14, а для трехмерных о. ц. к. и г. ц. к. решеток на фиг. 4.If) и 4.16.
1J Подобную ячейку можно определить для любого дискретного множества точек, не обязательно являющегося решеткой Бравэ. При таком более широком определении ее называют многогранником Вороного. В противоположность ячейке Вигнера — Зейтца структура и ориентация произвольного многогранника Вороного зависят от того, какую точку из этого множества он охватывает.
2) Кроме точек, лежащих на общей поверхности двух п более ячеек Вигнера — Зейтца.
3) Точное определение того, что именно следует понимать под словами «столь же симметричный», будет дано в гл. 7. •86
Глава 4
Заметим, что для построения ячейки Вигнера — Зейтда с центром в некоторой точке решетки нужно провести прямые, соединяющие эту точку со всеми
Фиг. 4.14. Ячейка Вигнера — Зейтца для двумерной решетки Бравэ. Шесть сторон ячейки рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с шестью соседними (эти отрезки показаны пунктиром). В двумерном случае ячейка Вигнера — Зейтца любой решетки Бравэ, кроме прямоугольной, всегда представляет собой шестиугольник (см. задачу 4, п. «а»).
Фиг. 4.15. Ячейка Вигнера — Зейтца для о. ц. к. решетки Бравэ («усеченный октаэдр»).
Окружающий ее куб представляет собой условную о. ц. к. ячейку, в центре и в вершинах которой расположены точки решетки. Шестиугольные грани рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с вершинами куба (эти отрезки изображены сплошными линиями). Квадратные грани рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с центральными точками каждой из шести соседних кубических ячеек (на фигуре эти линии не показаны). Шестиугольники являются правильными (см задачу 4, п. «г»).
Фиг. 4.16. Ячейка Вигнера — Зейтца для г. ц. к. решетки Бравэ («ромбический додекаэдр»).
Окружающий ее куб не является условной кубической ячейкой, показанной на фиг. 4.12, точки решетки расположены в центре этого куба и в центре каждого из 12 его ребер. Каждая из 12 (конгруэнтных) граней перпендикулярна прямой, соединяющей центральную точку с центром ребра.
другими точками решетки после чего построить плоскости, перпендикулярные к этим прямым и делящие их пополам, и выбрать наименьший многогранник. ограниченный построенными плоскостями и содержащий данную точку.
КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА. РЕШЕТКА С БАЗИСОМ
Физический кристалл можно описать, задав лежащую в его основе решетку Бравэ и указав расположение атомов, молекул, ионов и т. п. в отдельной элементарной ячейке. Чтобы подчеркнуть различие между абстрактным представлением о точках, образующих решетку Бравэ, и реальным физическим кристал-
2) На практике лишь малое число близлежащих точек определяет плоскости, которые оказываются границами ячейки. Кристаллические решетки
87і
лом *), обладающим такой решеткой, принято использовать специальный термин «кристаллическая структура». Кристаллическую структуру образуют идентичные экземпляры одной и той же физической единицы, называемой базисом, которые размещены во всех точках решетки Бравэ (или же, эквивалентно, трансляции которых образуют решетку Бравэ). Иногда используют также термин « решетка с базисом». Однако выражение «решетка с базисом» применяют и в более широком смысле для обозначения структуры, которая получается, когда базисная ячейка не является физическим объектом или объектами, а представляет собой другой набор точек. Например, вершины двумерных «пчелиных сот» не являются решеткой Бравэ, но могут быть представлены в виде двумерной треугольной решетки Бравэ 2) с двухточечным базисом (фиг. 4.17). Кристаллическую структуру с базисом, состоящим из единственного атома или иона, часто называют моноатомной решеткой Бравэ.
Решетку Бравэ также можно задать как решетку с базисом, выбрав непримитивную условную ячейку. К такому описанию часто прибегают, чтобы подчеркнуть кубическую симметрию о. ц. к. и г. ц. к. решеток Бравэ. В этом случае их описывают соответственно как простые кубические решетки, порождаемые векторами ах, ау и аг и обладающие двухточечным базисом
о, + (О. ц. к.) (4.7)
и четырехточечным базисом
О, -f(i + 9), ^-(y + z), + (Г. ц. к.) (4.8)
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
И РЕШЕТОК С БАЗИСОМ
СТРУКТУРА ТИПА АЛМАЗА
Решетка 3) типа алмаза (образуемая атомами углерода в кристалле алмаза) состоит из двух взаимопроникающих г. ц. к. решеток Бравэ, смещенных вдоль пространственной диагонали кубической решетки на четверть длины этой диагонали. Ее можно рассматривать как г. ц. к. решетку, базисом которой являются две точки, 0 и (а/4) (х -+- у -+- г). Координационное число равно 4 (фиг. 4.18). Решетка алмаза не является решеткой Бравэ, поскольку окруже-
