Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Примитивная ячейка должна содержать только одну точку решетки (если она выбрана таким образом, что не содержит точек на поверхности). Следовательно, если п — плотность точек в решетке 3), а V — объем примитивной ячей-
Ячейки, подвергнутые трансляции, могут иметь общие поверхностные точки — условие отсутствия перекрытия запрещает лишь перекрытие областей с ненулевым объемом.
2) Элементарная ячейка может быть и непримитивной («условная ячейка» — см. ниже). В отечественной литературе примитивную ячейку обычно называют просто элементарной. Поэтому при переводе термин «примитивная» ниже обычно не используется, и мы говорим об «элементарных» ячейках. В тех редких случаях, когда имеется в виду непримитивная элементарная ячейка, это оговорено особо. — Прим. перев.
3) Плотность точек решетки Бравэ п может, конечно, и не совпадать с плотностью электронов проводимости в металле. В дальнейшем в случаях, когда возможна путаница, мы будем обозначать эти две плотности по-разному. •84
Глава 4
ки, то nv = 1. Поэтому V = 1 In. Поскольку этот результат справедлив для любой примитивной ячейки, ее объем не зависит от способа выбора.
Из определения примитивной ячейки следует также, что если даны любые две примитивные ячейки произвольной формы, то всегда можно разрезать одну из них так, чтобы после смещения получающихся частей на соответствующие векторы решетки и сложения они образовали вторую примитивную ячейку. Это показано на фиг. 4.11.
Очевидно, что каждой тройке основных векторов можно сопоставить некоторую примитивную ячейку, образованную всеми точками г вида
(4.6)
г = X1Sl1
где Xi изменяется непрерывно от 0 до 1; она представляет собой параллелепипед, построенный на трех векторах аь а2 и а3. Недостаток такого выбора примитив-
Фиг. 4.11. Две возможные примитивные ячейки для двумерной решетки Бравэ. Ячейка в форме параллелограмма (заштрихованная) является, очевидно, примитивной. Изображены также шестиугольные ячейки, чтобы показать, что они тоже являются примитивными. Разрезав параллелограмм на части и сместив их на векторы решетки, можно получить шестиугольник. Для изображенных областей I—III параллелограмма
эти смещения соответственно равны СО, ВО и АО; для области IY смещение равно нулю.
Фиг. 4.12. Примитивная и условная ячейки для г. ц. к. решетки Бравэ.
Условная ячейка — большой куб. Примитивная ячейка—параллелепипед с шестью гранями, имеющими форму параллелограммов. Она обладает объемом, равным 1/4 объема куба, и имеет более низкую симметрию.
ной ячейки заключается в том, что он не отражает полпой симметрии решетки Бравэ. Например, если выбрать примитивную ячейку в г. ц. к. решетке Бравэ в виде (4.6), а в качестве тройки основных векторов взять (4.5), то такая ячейка представляет собой косой параллелепипед и. следовательно, не обладает полной кубической симметрией решетки (фиг. 4.12). Часто бывает важно работать с ячейками, которые имеют полную симметрию своей решетки Бравэ. Существуют два широко распространенных решения этой задачи, к рассмотрению которых мы и перейдем.
УСЛОВНАЯ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЯЧЕЙКА
Все пространство можно заполнить непримитивными элементарными ячейками (их называют условными элементарными ячейками). Элементарная ячейка представляет собой такую область, которая заполняет все пространство без перекрытия, если ее подвергнуть трансляциям, принадлежащим некоторому Кристаллические решетки 144і
подмножеству всех трансляций, образующих решетку Брава. Условную элементарную ячейку обычно выбирают так, чтобы она была больше примитивной и обладала требуемой симметрией. Например, для описания о. ц. к. решетки часто используют кубическую условную ячейку (фиг. 4.13), которая в два раза больше соответствующей примитивной ячейки, а для описания г. ц. к. решетки _ кубическую условную ячейку (см. фиг. 4.12), которая в четыре раза превосходит по объему примитивную г. ц. к. ячейку. (Нетрудно убедиться, что эти условные ячейки в два и четыре раза больше примитивных; для этого достаточно подсчитать, сколько точек решетки будет содержать условная кубическая ячейка, расположенная так, чтобы на ее поверхности не было точек.) Величины, определяющие размер элементарной ячейки (для кубических кристаллов — это одна величина а), называют постоянными решетки.
ПРИМИТИВНАЯ ЯЧЕЙКА ВИГНЕРА—ЗЕЙТЦА
Фиг. 4.13. Примитивная и условная ячейки для о. ц. к. решетки Бравэ.
Объем примитивной ячейки (темная) равен половине объема условной кубической ячейки.
Всегда можно выбрать такую примитивную ячейку, которая обладала бы полной симметрией решетки Бравэ. Наиболее известным примером подобного
выбора является ячейка Вигнера — Зейтца. Ячейка Вигнера — Зейтца с центром в некоторой точке решетки есть область пространства, лежащая ближе к этой точке, чем к какой-либо другой точке решетки *). Из трансляционной симметрии решетки Бравэ следует, что если ячейку Вигнера — Зейтца с центром в одной из точек решетки сместить на вектор решетки, соединяющий две ее точки, то она должна переходить в ячейку Вигнера — Зейтца, центром которой является вторая точка. Поскольку ближайшим соседом каждой точки пространства является лишь одна точка решетки 2), она будет принадлежать только той ячейке Вигнера — Зейтца, центром которой является эта точка решетки. Следовательно, если подвергнуть ячейку Вигнера — Зейтца трансляциям, определяемым всеми векторами решетки, то она заполнит все пространство без перекрытия, т. е. ячейка Вигнера — Зейтца представляет собой примитивную ячейку.
