Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
граней новой простой кубической решетки, тогда как точки, помещенные в центры северных-южных граней исходной кубической решетки, находятся в центрах восточных-западных граней в новой решетке, и наоборот.
Точно так же можно считать, что простую кубическую решетку образуют все точки, лежащие в центре северных-южных граней исходной кубической решетки, или же все точки, лежащие в центре восточных-западных граней исходной кубической решетки. В любом случае остающиеся точки оказываются расположенными в центре граней новой простой кубической решетки. Следовательно, любую точку можно рассматривать либо как угловую точку, либо как лежащую в центре грани для любого из трех видов граней. Таким образом, г. ц. к. решетка действительно является решеткой Бравэ.
Симметричный набор основных векторов для г. ц. к. решетки имеет вид (фиг. 4.9)
а /- . ~. а
Y (Z + x), а3 = —
Фиг. 4.9. Тройка основных векторов (4.5)
для г. ц. к. решетки Бравэ.
Отмечены точки P = а, + аг + а3, Q — 2а2, R = ¦= а2 + а3 и S = — а, + а, + а,.
а1 = т(У + г)' a2 = v (z + x),
(х+У).
(4-5)
Г. ц. к. и о. ц, к. решетки Бравэ особенно важны потому, что именно такими кристаллическими решеткамії (с одним атомом или ионом в каждом узле репгетки) •82
Глава 4
Таблица 4.1
Элементы с моноатомной гранецентрированной кубической кристаллической структурой
Элемент а, А Элемент а, А Элемент а, А
Ar 5,26 (4,2 К) Ir 3,84 Pt 3,92
Ag 4,09 Kr 5,72 (58 К) 6-Ри 4,64
Al 4,05 La 5,30 Rh 3,80
Au 4,08 Ne 4,43 (4,2 К) Sc 4,54
Ca 5,58 Ni 3,52 , Sr 6,08
Ce 5,16 Pb 4,95 Th 5,08
?-Co 3,55 Pd 3,89 Xe (58 К) 6,20
Cu 3,61 Pr 5,16 Yb 5,49
Данные табл. 4.1 — 4.7 взяты из справочника Уикоффа [і]. В большинстве случаев приведены данные для комнатной температуры и нормального атмосферного давления. Для элементов, существующих во многих модификациях, указана их стабильная форма (формы) при комнатной температуре. Более детальную информацию, точные значения постоянных решетки и ссылки на литературу можно найти в справочнике [1].
Таблица 4.2
Элементы с моноатомной объемноцентрированной кубической кристаллической
структурой
Элемент а, А Элемент а, А Элемент а, А
Ba 5,02 Li 3,49 (78 К) Ta 3,31
Cr 2,88 Mo 3,15 Tl 3.88
Cs 6,05 (78 К) Na 4,23 (5 К) V 3,02
Fe 2.87 Nb 3,30 W 3,16
К 5,23 (5 К) Rb 5,59(5 К)
обладает большинство твердых тел (табл. 4.1 и 4.2). (Кристаллов с простой кубической решеткой, однако, чрезвычайно мало — из элементов при нормальных условиях ею обладает только а-фаза полония.)
ЗАМЕЧАНИЕ О ТЕРМИНОЛОГИИ
Хотя мы определили термин «решетка Бравэ» лишь в применении к множеству точек, его обычно используют также и для обозначения множества векторов, соединяющих любую из этих точек со всеми остальными. (Поскольку эти точки действительно образуют решетку Бравэ, получаемое множество векторов не зависит от того, какая именно точка выбрана в качестве исходной.) Еще одно значение термина связано с тем, что любой вектор R определяет некоторую трансляцию, или сдвиг, при котором вся совокупность элементов системы смещается как жесткое целое в пространстве на расстояние R в направлении R. Поэтому термин «решетка Бравэ» используется и для обозначения множества трансляций, определяемых этими векторами, а не только для обозначения самих векторов. На практике по смыслу всегда ясно, имеются ли в виду точки, векторы или трансляции х).
х) Более широкое значение этого термина позволяет дать следующее изящное определение решетки Бравэ, сочетающее в себе точность определения «а» и нейтральность определения «б». Решетка Бравэ есть дискретное множество векторов, не лежащих в одной плоскости, являющееся полным в отношении векторного сложения и вычитания (т. е. сумма и разность любых двух векторов из этого множества также принадлежат ему). Кристаллические решетки
83і
КООРДИНАЦИОННОЕ ЧИСЛО
Точки решетки Бравэ, лежащие ближе всего к данной точке, называются ее ближайшими соседями. В силу периодичности решетки Бравэ любая точка имеет одинаковое число ближайших соседей. Поэтому такое число является характеристикой решетки и его называют координационным числом этой решетки. У простой кубической решетки координационное число равно шести, у объемноцентрированной кубической — восьми, а у гранецентрированной кубической — двенадцати. Понятие координационного числа допускает очевидное обобщение и на простые периодические структуры, не являющиеся решетками Бравэ, при условии, что каждая точка в этой структуре имеет одинаковое число ближайших соседей.
ПРИМИТИВНАЯ ЯЧЕЙКА
Рассмотрим объем пространства, который, будучи подвергнут всем трансляциям, образующим решетку Бравэ, заполняет все пространство, нигде не пере-крываясь сам с собой и не оставляя промежутков. Такой объем называется
Фиг. 4.10. Некоторые возможные способы выбора примитивной ячейки для двумерной
решетки^ Бравэ.
примитивной ячейкой или примитивной элементарной ячейкой решетки х> 2). Для решетки Бравэ не существует однозначного способа выбора примитивной ячейки. Несколько возможных способов выбора примитивных ячеек для двумерной решетки Бравэ показано на фиг. 4.10.
