Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЕШЕТКИ И КОНЕЧНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
Поскольку все точки решетки Бравэ эквивалентны, она должна иметь бесконечную протяженность. Несомненно, реальные кристаллы имеют конечные размеры, однако если эти размеры достаточно велики, то громадное большинство точек находится столь далеко от поверхности, что ее влиянием можно пренебречь. Абстрактное математическое представление о бесконечной системе оказывается поэтому очень полезной идеализацией. При рассмотрении поверхностных эффектов понятие решетки Бравэ по-прежнему играет важную роль, но в этом случае приходится учитывать, что физический кристалл занимает лишь конечную область в идеальной решетке Бравэ.
Часто кристаллы конечных размеров рассматривают не потому, что важны поверхностные эффекты, а лишь для удобства рассуждений — аналогично тому, как в гл. 2)мы помещали электронный газ в куб объемом V — ZA В этом случае обычно выбирают такую конечную область решетки Бравэ, которая имеет наиболее простую возможную форму. Если задана тройка основных векторов ai, а2 и а3, то чаще всего рассматривают конечную решетку с N узлами, образованную множеством точек: R = ^a1 + пЛа2 -f- и3а3, где O-^n1 «< N1, 0-^n2 С N2, O^n3 < N3 и N = N1N2N3. Это искусственное построение необходимо для обобщения на случай кристаллических систем того периодического граничного условия, которое уже использовалось нами в гл. 21).
г) Мы воспользуемся им в гл. 8 и 22. Кристаллические решетки
79і
ДАЛЬНЕЙШИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ И ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ
Из двух определений решетки Бравэ определение «б» является более строгим с математической точки зрания, поэтому именно оно лежит в основе
Фиг. 4.4. Несколько возможных способов выбора пары основных векторов для двумерной-
решетки Бравэ.
Для наглядности основные векторы изображены выходящими из различных точек решетки.
всякого формального анализа. Однако у этого определения есть два небольших недостатка. Во-первых, для всякой заданной решетки Бравэ выбор тройки основных векторов оказывается неоднозначным — имеется бесконечное число неэквивалентных выборов (фиг. 4.4), поэтому часто бывает нежелательно (а иногда и вредно) чересчур полагаться на определение, основанное лишь на одном из всевозможных выборов. Во-вторых, при взгляде на периодическую решетку точек обычно сразуже можно определить, выполняется ли первое определение; в то же время гораздо труднее непосредственно установить, существует ли тройка основных векторов, или показать, что она отсутствует.
Рассмотрим, например, объемно-центрированную кубическую (о. д. к) решетку, которая получается, если к изображенной на фиг. 4.2 простой кубической решетке (ее узлы обозначены как А) добавить по точке В, расположенной в центре каждого из малых кубов (фиг. 4.5). На первый взгляд может показаться, что центральные точки В находятся в ином соотношении с полной структурой, чем угловые точки А. Однако, всякую центральную точку В можно рассматривать как угловую точку второй простой кубической решетки. В этой новой решетке угловые точки А исходной кубической решетки представляют собой центральные точки. Поэтому все точки решетки действительно имеют оди-
Фиг. 4.5. Несколько узлов обі емноиентри-рованной кубической решетки Бравэ.
Обратите внимание, что ее можно рассматривать либо как простую кубическую решетку, образованную точками А и содержащую точки В в центрах кубов, либо;как простую кубическую решетку, образованною точками В и содержащую точки А в центре кубов. Отсюда следует, что такая решетка действительно является решеткой Бравэ. Фиг. 4.6. Тройка основных векторов (4.3) для о. ц. к. решетки Бравэ. Чтобы получить эту решетку, необходимо взять все линейные комбинации основных векторов с целыми коэф фициентами. Для точки Р, например, P — — ai — аг + 2а3.
Фиг. 4.7. Более симметричная тройка основных векторов(4.4) для о. ц. к. решетки Бравэ
Для точки Р, например, P = 2а, + аг + аз.
Фиг. 4.8. Некоторые точки г.ц.к. решетки Бравэ. Кристаллические решетки
81і
наковые окружения и о. ц. к. решетка является решеткой Бравэ. Если исходная простая кубическая решетка порождается основными векторами
ох, оу, аг,
(4.2)
где X, у и Z — три ортогональных единичных вектора, то в качестве тройки основных векторов для о. ц. к. решетки можно выбрать векторы (фиг. 4.6)
а ! = ах, а2 = ау,
a3 = ^- (x + y + z).
Существует и более симметричный набор (фиг. 4.7):
aI = -O- (У + 2 — х)> а2 = — (z + x — у),
(x+y-z),
(4.3)
(4.4)
Советуем читателю самостоятельно убедиться геометрическим и аналитическим методом, что эти два набора действительно порождают о. ц. к. решетку Бравэ.
Другим столь же важным примером является гранецентрированная кубическая (г. д. к.) решетка Бравэ. Чтобы построить г. ц. к. решетку Бравэ, нужно добавить к простой кубической решетке на фиг. 4.2 по одной дополнительной точке в центре каждой грани (фиг. 4.8). Для простоты описания можно представить, что каждый куб в простой кубической решетке имеет горизонтальную верхнюю и нижнюю грани, а также четыре вертикальные грани, обращенные на север, юг, восток и запад. Может показаться, что не все точки в новой решетке эквивалентны, но это не так. Рассмотрим, например, новую простую кубическую решетку, образованную теми точками, которые были помещены в центры всех горизонтальных граней. Теперь точки исходной простой кубической решетки являются центральными точками горизонтальных
