Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем переходить к описанию методов определения структуры твердых тел с помощью дифракции рентгеновских лучей и к обсуждению того, как обнаруживаемые подобным образом периодические структуры влияют на фундаментальные физические свойства вещества, полезно дать обзор некоторых наиболее важных геометрических свойств трехмерных периодических структур. Результаты такого геометрического рассмотрения лежат в основе почти всякого теоретического построения в физике твердого тела; именно этому вопросу посвящена настоящая глава, а также гл. 5 и 7. Область применения развитых представлений чрезвычайно широка; в гл. 6 мы прежде всего познакомимся с одним из них — анализом дифракции рентгеновских лучей.
1) Часто образец состоит из большого числа очень маленьких кусочков, каждый из которых является крупным по микроскопическим масштабам и содержит большое число периодически расположенных ионов. Такое «поликристаллическое» состояние встречается гораздо чаще, чем макроскопические монокристаллы, у которых периодичность является полной и охватывает весь образец. Кристаллические решетки
77і
РЕШЕТКА БРАВЭ
При описании любого кристаллического твердого тела используется фундаментальное понятие решетки Бравэ, которое характеризует периодическую структуру, образуемую повторяющимися элементами кристалла. Эти элементы могут представлять собой отдельные атомы, группы атомов, молекулы, ионы ит. п., однако в понятии решетки Бравэ находит свое отражение только геометрия расположения элементов независимо от того, что в действительности представляют собой эти элементы. Дадим два эквивалентных определения решетки Бравэ *):
а. Решетка Бравэ — это бесконечная периодическая структура, образованная дискретными точками и имеющая абсолютно одинаковый пространственный порядок и ориентацию независимо от того, какую ее точку мы принимаем за исходную.
б. Трехмерная решетка Бравэ образована всеми точками с радиусами-векторами R вида
R = ^a1 + п.2 а2 + U3 а3, (4.1)
где а2 и а3 — любые три вектора, не лежащие все в одной плоскости, а пъ п2 и п3 — все возможные целые числа 2). Поэтому, чтобы достигнуть точки 2ПіЯі, необходимо проделать Hi шагов3) длиной a j в направлении аг, где г = 1, 2,3.
Векторы аг, фигурирующие в определении «б» решетки Бравэ, называются основными векторами; говорят также, что они порождают решетку.
Два определения решетки Бравэ эквивалентны друг другу, однако это становится очевидным не сразу. Уяснив оба определения, легко понять, что любая решетка, удовлетворяющая определению «б», удовлетворяет одновременно и определению «а». Однако утверждение, что любая решетка, удовлетворяющая определению «а», может быть порождена определенной тройкой векторов, уже не столь очевидно. Доказательство состоит в указании практического способа построения тройки основных векторов. Такое построение проводится в задаче 8, п. «а».
На фиг. 4. 1 показана часть двумерной решетки Браве 4). Видно, что она удовлетворяет определению «а»; на фигуре изображены также основные векторы в! и а2, фигурирующие в определении «б». На фиг. 4.2 показана одна из наиболее извеетных трехмерных решеток Бравэ — простая кубическая решетка. Особенности ее структуры связаны с тем, что эту решетку порождают три взаимно перпендикулярных основных вектора равной длины.
Существенно, что в решетке Бравэ не только пространственное расположение элементов, но и ориентация векторов остаются неизменными независимо от
1J Происхождение этого названия объясняется в гл. 7.
2) Мы по-прежнему называем «целым числом» не только положительное, но и отрицательное целое число и нуль.
3) Если число п отрицательно, то т шагов в определенном направлении» означает в действительности п шагов в противоположном направлении. Сама точка, к которой мы в результате приходим, не зависит, конечно, от порядка следования л, + n2 + пз шагов.
4) Двумерную решетку Бравэ называют также сетью.
• • • р •
а!
Фиг. 4.1. Произвольная двумерная решетка Бравэ, не обладающая никакой дополнительной симметрией (косая сеть).
Показаны основные векторы at и а2. Все точки сети можно получить, взяв линейные комбинации этих векторов с целыми коэффициентами, например P = а, + 2аj и Q = — а, + а2. •78
Глава 4
точки решетки. Обратимся теперь к структуре, образованной вершинами двумерных «пчелиных сот» (фиг. 4.3). Если «строить» такую структуру из двух соседних точек, то она будет выглядеть одинаково только в том случае, если при переходе от одной точки к другой повернуть рисунок на 180°. Структурные соотношения, очевидно, идентичны, но это, однако, не справедливо для
Фиг. 4.2. Трехмерная простая кубическая решетка Бравэ.
Три основных вектора можно выбрать так, чтобы они были взаимно ортогональны и имели одинаковую длину.
Фиг. 4.3. Вершины двумерных «пчелиных сот», не образующие решетку Бравэ.
Такая структура кажется одинаковой, если смотреть из точек P или Q; однако вид из точки В повернут на 180® по сравнению с видом из точки Р.
ориентационвых соотношений, поэтому вершины «пчелиных сот» не образуют решетку Бравэ. С практической точки зрения более интересным примером решетки, в которой выполняются структурные, но нарушаются ориентацион-ные требования определения «а», может служить описанная ниже трехмерная гексагональная плотноупакованная решетка.
