Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
kB
»(w)1/2- (2Л06)
Полученное соотношение также можно рассматривать как условие применимости классической статистики.
б) Каков физический смысл той длины, значительно больше которой должна быть величина rs?
в) Покажите, что из (2.106) можно получить следующее численное условие:
10? \ 1/2
і »( = )"'. (2,07)
г) Покажите, что нормировочный множитель пг3/4я3Д3, входящий в выражение (2.2) для распределения Ферми—Дирака по скоростям, можно записать также в виде (Зу'яМ)« X X (т/2лквТ F)3I2, поэтому fB (O)If (0) = (4/з/я) (TfIT)3I2 [см. (2.1)].
4. Нечувствительность функции распределении к малым изменениям полного числа электронов
При выводе распределения Ферми (стр. 54) мы утверждали, что вероятность заполнения данного уровня не должна существенно изменяться при изменении полного числа электронов на единицу. Убедитесь, что фермиевская функция (2.56) находится в согласии с подобным предположением.
Соотношение (2.101), справедливое при любой степени вырождения электронного газа, не имеет места для электронов со сложным законом дисперсии, когда плотность состояний не пропорциональна см. формулу (8.63).— Прим. ред. Теория металлов Зоммерфельда
69
а) В предположении квТ <С покажите, что, когда число электронов изменяется на единицу при постоянной температуре, химический потенциал меняется на величину
^=TFW' (2Л08>
где g (%) — плотность уровней.
б) Покажите, что как следствие этого вероятность заполнения какого-либо уровня может тогда измениться не более чем на величину
(2Л09>
[Используйте выражение (2.65) для плотности уровней g свободных электронов.] Хотя в экспериментах могут быть достигнуты температуры порядка милликельвинов, при которых tSpIkeT « IO8, даже в этом случае при N ~ IO22 величина Д/ оказывается все еще пренебрежимо малой.
ЛИТЕРАТУРА1)
1. Lebowitz J. L., Lieb Е. H., Phys. Rev. Lett., 22, 631 (1969).
2. Reif F., Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill, New York, 1965, p. 350.
З*. Лифшиц И. M., Азбель M. Я., Каганов М. И. Электронная теория металлов.— M.: Наука, 1971.
1J Здесь и далее звездочками отмечены работы, добавленные редактором перевода.— Прим. ред. ГЛАВА З
НЕДОСТАТКИ МОДЕЛИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
Теория свободных электронов успешно объясняет многие характерные свойства металлов. Наиболее явные недостатки модели в том виде, как она была первоначально предложена Друде, связаны с тем, что для описания электронов проводимости в ней используется классическая статистическая механика. Вследствие этого даже при комнатной температуре рассчитанные значения термо-э. д. с. и теплоемкости оказываются в сотни раз больше наблюдаемых. Расхождение все же не казалось столь серьезным, так как классическая статистика случайно дает сравнительно точное значение постоянной в законе Видемана— Франца. Зоммерфельд устранил подобные недостатки, применив к электронам проводимости статистику Ферми — Дирака, но оставив без изменения все другие основные предположения модели свободных электронов.
Однако многие количественные результаты, получаемые в модели свободных электронов Зоммерфельда, по-прежнему противоречат экспериментам; кроме того, эта модель оставляет нерешенными ряд принципиальных вопросов. Ниже перечислены недостатки модели свободных электронов, обнаруживающиеся в задачах, которые были рассмотрены в предыдущих двух главах
ТРУДНОСТИ МОДЕЛИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
1. ОШИБКИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ ПЕРЕНОСА, ДАВАЕМЫХ МОДЕЛЬЮ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
а. Коэффициент Холла. Теория свободных электронов предсказывает, что коэффициент Холла при плотностях электронов, типичных для металла, имеет постоянную величину Rh = —1 !пес, на зависящую от температуры,
Примеры и замечания, содержащиеся is этой короткой глано, не рассчитаны на то, чтобы дать полное представление о пределах применимости модели свободных электронов. Этот вопрос прояснится в следующих главах, в которых указаны также пути решения проблем, возникающих в модели свободных электронов. Цель настоящей главы — лишь подчеркнуть, насколько глубоки и разнообразны недостатки этой модели, что одновременно служит объяснением того, почему приходится применять гораздо более сложный анализ. Недостатки модели свободных электронов
71
времени релаксации и напряженности магнитного поля. Хотя наблюдаемые значения коэффициента Холла имеют действительно такой порядок величины, тем не менее обычно они зависят как от напряженности магнитного поля, так и от температуры (а, вероятно, также и от времени релаксации, которое довольно трудно контролировать в эксперименте). Часто подобная зависимость оказывается резко выраженной. Например, в алюминии (см. фиг. 1.4) коэффициент Rh всегда отличается по меньшей мере в три раза от своего значения для свободных электронов; помимо того, он сильно зависит от напряженности магнитного поля, а в больших полях имеет знак, противоположный предсказываемому теорией свободных электронов. Такие случаи не являются исключениями. Лишь коэффициенты Холла щелочных металлов обнаруживают поведение, близкое к предсказаниям теории свободных электронов.
