Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
y = ±-nZR -^- = 0,169Z (іаЛ2.іо-4 кал-моль-1-K"2. (2.85)
Z Ip \ O0 /
В табл. 2.3 для некоторых металлов приведены найденные из эксперимента примерные значения у, а также теоретические значения, рассчитанные для свободных электронов по формуле (2.85) с использованием величин г Ja0 из табл. 1.1. Обратите внимание на то, что щелочные металлы по-прежнему хорошо описываются теорией свободных электронов; то же относится и к благородным металлам (Cu, Ag, Au). Вместе с тем необходимо отметить существенные расхождения для Fe и Mn (экспериментальное значение на порядок превышает теоретическое) и для Bi и Sb (экспериментальное значение на порядок меньше теоретического). В настоящее время подобные большие расхождения удается объяснить на довольно общей основе. Мы вернемся к их обсуждению в гл. iZ.
ЗОММЕРФЕЛЬДОВСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ В МЕТАЛЛАХ
Чтобы найти распределение по скоростям для электронов в металле, рассмотрим малый *) элемент объема dk около точки к в A-пространстве. С учетом двукратного спинового вырождения число одноэлектронных уровней в этом элементе объема равно [см. (2.18)]
(і И' (2-86)
Вероятность заполнения каждого уровня есть / (? (к)), поэтому полное число электронов в элементе объема A-пространства равно
JL/(g(k))dk, ?(к) = Д^. (2.87)
Поскольку скорость свободного электрона с волновым вектором к есть V = їїк/m [формула (2.12)], число электронов в элементе объема dv вблизи v совпадает с числом электронов в объеме <ik = (m/H)3d\ около точки k = т\/Н. Следовательно, полное число электронов в расчете на единицу объема в реальном пространстве, содержащееся в элементе пространства скоростей dx вблизи V, равно
/ (v) dy, (2.88)
!) Достаточно малый, чтобы фермиевская и другие интересующие нас функции слабо изменялись в этом объеме, но достаточно большой, чтобы в нем содержалось очень миого одноэлектронных уровней. 64
Глава 1
где
^v)= 4JT3 explO/am^ — H)//^ 74 + 1- (2.89)
Зоммерфельд заново рассмотрел модель Друде, заменив всюду классическое распределение по скоростям Максвелла — Больцмана (2.1) распределением Ферми — Дирака (2.89). Использование квантового распределения по скоростям в классической во всех других отношениях теории требует определенного обоснования г). Классическое описание движения электрона возможно в том случае, когда его координата и импульс могут быть измерены с необходимой точностью без нарушения принципа неопределенности 2).
Типичный электрон в металле имеет импульс порядка hkF, поэтому, чтобы классическое описание было хорошим, неопределенность импульса электрона Ap должна быть малой по сравнению с HkF. Поскольку из (2.22) следует, что
кр ~ 1 Irs, неопределенность координаты должна удовлетворять соотношению
(2-9°)
где в соответствии с (1.2) г8 имеет порядок среднего расстояния между электронами, т.е. составляет несколько ангстремов. Поэтому классическое описание невозможно, если приходится рассматривать электроны, которые локализованы на расстояниях порядка межатомных (также равных нескольким ангстремам). Однако электроны проводимости в металле не привязаны к конкретным ионам, а свободно передвигаются по объему металла. В макроскопических образцах в большинстве случаев нет необходимости задавать их координаты с точностью до 10_8см. В модели Друде знание координат электрона существенно главным образом в следующих двух отношениях:
1. Когда к металлу приложено переменное электромагнитное поле или же градиент температуры, мы должны быть в состоянии указать координаты электрона с точностью до расстояний, малых по сравнению с характерным масштабом X, на котором изменяется поле или градиент температуры. В большинстве практических случаев приложенные поля и градиенты температуры не меняются существенно на расстояниях порядка ангстрема, поэтому достижение требуемой точности при измерении координаты электрона не приводит к недопустимо большой неопределенности в его импульсе. Например, электрическое поле световой волны видимого диапазона существенно меняется лишь на длине около IO3 А. Однако когда длина волны имеет гораздо меньшую величину (как, например, у рентгеновских лучей), то для описания движения электронов, вызванного таким полем, необходимо использовать квантовую механику.
2. В модели Друде неявным образом предполагается также, что электрон можно локализовать на расстояниях, гораздо меньших длины свободного пробега ввиду этого не следует доверять таким классическим рассуждениям, в ко-
1J Детальное аналитическое обоснование построить весьма сложно, поскольку формулировка достаточно общих и точных условий, при выполнении которых квантовую теорию можно заменить ее классическим пределом, представляет собой довольно тонкую задачу. Тем не менее лежащие в основе этого доказательства физические соображения оказываются очень простыми.
2) Существует также еще одно, несколько более специальное обстоятельство, ограничивающее использование классической механики для описания электронов проводимости. Энергия движения электрона в плоскости, перпендикулярной приложенному постоянному магнитному полю, квантована в единицах Hcoc (см. гл. 14). Даже для полей, достигающих IO4 Гс, эта энергия очень мала; тем не менее в соответствующим образом приготовленных образцах при температурах в несколько Кельвинов подобные квантовые эффекты становятся наблюдаемыми и имеют важное практическое значение. Теория металлов Зоммерфельда
