Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ния (2.66) и (2.67) остаются справедливыми для любой совокупности невзаимодействующих (т. е. независимых) электронов *). Ввиду этого позднее мы сможем применить полученные из (2.66) и (2.67) результаты при рассмотрении гораздо более сложных моделей независимых электронов в металле.
В общем случае интегралы (2.66) и (2.67) имеют довольно сложную структуру- Для них, однако, можно записать простое разложение, основанное на том, что почти при всех температурах, представляющих интерес для металлов, T гораздо меньше температуры Ферми (2.33). На фиг. 2.3 представлена функция / (Ш) при T = 0 и при комнатной температуре для типичных металлических ллогностей QcbTIц « 0,01). Видно, что / отличается от своего значения при .нулевой температуре лишь в малой области шириной порядка квТ вблизи ц.
OO
Поэтому отличие интегралов типа j H (Щ / (Ш) d% от их значений для
-OO
інулевой температуры j H (і) dE полностью определяется видом функции
1) См. гл. 8. Теория металлов Зоммерфельда 59
Д (E) вблизи точки Ш = fx. Если H (Ш) меняется не слишком быстро в области шириной порядка квТ вблизи точки jx, то температурную зависимость интеграла можно довольно точно рассчитать, заменяя функцию Я ('Ш) на сумму нескольких первых членов ее разложения в ряд Тейлора при ё = fx:
*<8> = 2 ^H(M)
71 — 0
(2.68)
Эти вычисления проведены в приложении В. Результат имеет форму ряда
J Я (Щ f (Z) d% = J Я (%) dS + 2 (квТГап J^i H (Щ
п= і
=,. (2"69)
называемого разложением Зоммерфельда х). Здесь ап — безразмерные постоянные порядка единицы. Для тех функций Я, с которыми обычно приходится иметь дело, характерный масштаб изменения по энергиям оказывается порядка jx и, вообще говоря, величина (d/dS)n H (I) |<g=Jl имеет порядок Я (fx)/jxn. Когда это так, каждый последующий член в разложении Зоммерфельда отличается от предыдущего множителем О (квТ/р)2, т. е. множителем О (10~4) при комнатной температуре. С учетом этого при конкретных вычислениях из всей суммы (2.69) оставляют лишь первый и (очень редко) второй члены. Они имеют следующий явный вид (см. приложение В):
OO
j Я (Ш) І(Ш) d% = — 00
= J + (kBTfH'(p) {kBT)* H* (P)+
-OO
(2.70)
Чтобы рассчитать удельную теплоемкость металла при температурах, малых по сравнению с Tf, воспользуемся разложением Зоммерфельда (2.70) и применим его к интегралам (2.66) и (2.67) для плотности энергии и плотности числа электронов:
и
u=^g(M)d% +~(kBT)^[pg'(p) + g(p)} + 0(T% (2.71)
о и
» = j g (Щ йШ + (kBT)* g' (и) + О (Г4). (2.72)
о
Как мы сейчас подробно покажем, из выражения (2.72) следует, что jx отличается от своего значения при T= О лишь на величину порядка T2. Поэтому
1J Разложение (2.69) является точным не во всех случаях, однако оно достаточно надежно, если функция H (%) не имеет особенностей непосредственно вблизи точки % — ц. Если, например, H обладает особенностью при % = О [как плотность уровней (2.63) для свободных электронов], то в разложении мы потеряли члены порядка ехр (—ц./квТ), что обычно составляет около е-100 ~ IO"43. См. также задачу 1. 60 Глава 1
с точностью до T2 можно записать и cSp
Н(Ш)ёШ + (р-Шр)Н(Шр). (2.73)
о о
Поступая аналогичным образом с интегралами в выражениях (2.71) и (2.72) и заменяя ^ на Шр в тех членах уравнений, которые уже имеют порядок T2r получаем
и = j Sgg (Ш) M + Шр {(Ц - Шр) g (ШР) + (kBTf g' } + о
+ (kBT)2g(%P) + 0(n, (2.74)
iSf
n=j g(S)dS +{(v-%P)gCiF) + ^(kBT)Zg'(%P)} + 0(7"). (2.75) о
Не зависящие от температуры первые члены в правых частях в формулах (2.74) и (2.75) представляют просто значения it и п для основного состояния. Поскольку мы рассчитываем удельную теплоемкость при постоянной плотности, величина п не зависит от температуры и (2.75) сводится к соотношению
0 = Си.- ШР) g (ШР) + (квТ)* g' (Ef), (2.76)
которое определяет отклонение химического потенциала ^ от %р:
I4 = ^-XfWw- (2-77>
Поскольку для свободных электронов плотность уровней g (Ш) пропорциональна 11/2 [см. (2.63)], получаем
т. е., как и утверждалось выше, изменение fi имеет порядок T2 и составляет обычно около 0,01 % даже при комнатных температурах.
В силу соотношения (2.76) член в фигурных скобках в выражении (2.74) обращается в нуль, поэтому выражение для плотности тепловой энергии при постоянной плотности электронов приобретает более простую форму:
и = щ + ^(квТ)*ёСеР), (2.79)
где U0 — плотность энергии в основном состоянии. Следовательно, удельная теплоемкость электронного газа такова:
= TT
(2.80)
и для свободных электронов [см. (2.65)] имеем
кв1 %F
'-=4(-??1)1*- (2-81) Теория металлов Зоммерфельда
61
¦Сравнивая это выражение с классическим результатом для идеального газа {с„ = Snkв/2), мы видим, что статистика Ферми — Дирака приводит к понижению удельной теплоемкости за счет множителя (я2/3) (квТ/Шр), который пропорционален температуре и даже при комнатной температуре имеет порядок всего лишь IO-2. Этим объясняется отсутствие наблюдаемого вклада электронных степеней свободы в удельную теплоемкость металла при комнатной температуре.
