Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 44

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 203 >> Следующая


2) Доказательство. Уровень может содержать 0 или 1 электрон (большее число электронов запрещено принципом Паули). Среднее число электронов тогда равно единице, умноженной на вероятность нахождения одного электрона, плюс нуль, умноженный на вероятность нахождения нуля электронов. Таким образом, среднее число электронов на уровне численно равно вероятности его заполнения. Заметим, что это утверждение было бы несправедливо, если бы было разрешено многократное заполнение уровней.

3) Химический потенциал играет гораздо более фундаментальную роль, когда распределение (2.48) выводится из большого канонического ансамбля (см., например, книгу Рейфа [2]). В приведенном выше несколько нетрадиционном выводе, который также можно найти в книге [2]. использовался лишь канонический ансамбль. 56

Глава 1

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА. ПРИМЕНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ—ДИРАКА

В газе свободных и независимых электронов одноэлектронные уровни описываются волновым вектором к и спиновым квантовым числом s: энергии уровней не зависят от s (в отсутствие магнитного поля) и определяются выражением (2.7), т. е.

gCO = ^r- (2-5°)

Убедимся прежде всего, что функция распределения (2.49) согласуется с выведенными выше свойствами основного состояния (при T = O). В основном состоянии заняты те и только те уровни, у которых J?(k) ^ Ш F, поэтому в основном состоянии функция распределения должна иметь вид

Zk8= 1, g(k)<?K,

= 0, g(k )>Шр. (2.51)

С другой стороны, в пределе T -у 0 распределение Ферми — Дирака (2.48) приобретает вид

lim/ka=l, ?(к)<ц,

= 0, g(k)>p. (2.52)

Чтобы эти два выражения были совместны, должно выполняться условие

Iim^ = Sp. (2.53)

г-^о

Как мы вскоре увидим, химический потенциал металлов вплоть до комнатной температуры остается почти точно равным энергии Ферми. Поэтому, имея дело с металлами, часто не различают эти две величины. Подобное допущение, однако, может приводить к опасным ошибкам. При точных расчетах необходимо учитывать отличие химического потенциала ji от его значения Mf для нулевой температуры.

Одним из наиболее важных примеров применения статистики Ферми — Дирака может служить расчет электронного вклада в удельную теплоемкость металла при постоянном объеме:

T (dS\ / да \ и /ос/ч

= и = 1Г' (2.54)

В приближении независимых электронов внутренняя энергия U равна сумме произведений Ш (к) на среднее число электронов на данном уровне, взятой по всем одноэлектронным уровням 1J:

?/ = 22 S (k)/(S (к)). (2.55)

к

Чтобы подчеркнуть, что /к зависит от к только через энергию электрона % (к), мы ввели функцию Ферми

(2.56)

/(S) = -



1J Как обычно, множитель 2 отражает то обстоятельство, что каждый уровень к может содержать два электрона с противоположными ориентациями спинов. Теория металлов Зоммерфельда 57

Если поделить обе части равенства (2.55) на объем V, используя соотношение (2.29), то плотность энергии и = UIV можно записать в виде

и = J-^g (к)/ф (к)). (2.57)

Разделив на V также и обе части соотношения (2.49), можно дополнить (2.57) выражением для плотности электронов п = NlV и использовать его для исключения химического потенциала:

" = J-HsrZ(^k))- (2.58)

При расчете интегралов типа (2.57) и (2.58), которые имеют форму

j ^rF(Sfk)), (2.59}

часто используют то обстоятельство, что подынтегральное выражение зависит от к лишь через энергию электрона % = Тг2кг12т. Переходя в интеграле к сферическим координатам и заменяя к на Ш, имеем

5^F(?(k))=j'^F(I(k))=J d$g(t)F?). (2.60)

Здесь

2m*



(2.61)

= 0, SS < 0.

Поскольку интеграл (2.59) представляет предел суммы (1/F) 2 F ф (к)), из.

ks

вида выражения (2.60) следует, что g (&) = (-^r) X [число одноэлектронных уровней

в интервале энергий от Щ до (2.62)>

По этой причине g ф) называют плотностью уровней в расчете на единицу: объема (или часто просто плотностью уровней). Удобно записать g в виде

'W = TW g>0; (2-63)l

= 0, g<0,

где ё F и kF определены соотношениями (2.21) и (2.25), относящимися к нулевой температуре. Особенно важно знать численное значение плотности уровней у поверхности Ферми, которое может быть представлено в двух эквивалентных формах, вытекающих из соотношений (2.61) и (2.63):

g&r) = -?, (.2-64)

или

(2.65)

/ Cp ч 3 /1

Tf- 58

Глава 1

Используя введенное обозначение, запишем выражения (2.57) и (2.58) следующим образом:

іг= \ d6g{f)ff{f)

(2.66)

j d%g {%) /(g).

(2.67)

Мы проделали это не только, чтобы упростить обозначения, но также и потому, что при подобной записи приближение свободных электронов используется лишь для конкретного вычисления плотности уровней g по формулам (2.61) и (2.63). ,Если определить плотность уровней с помощью выражения (2.62), то выраже-

f

1,0

H-

f

1,0

А ^

О к--і

•Фиг. 2.3. Зависимость функции Ферми

/ («) = l/[eK* ^ + 1] от g при заданном значении (X для T = 0 (а) и квТ ж 0,01ц (б).

При типичных металлических плотностях последнее значение соответствует комнатной температуре. Кривые различаются лишь в области порядка fcgT вблизи р..
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed