Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
¦2е-Е«/квт = е-г»/квт. (2.39) 54
Глава 1
Ввиду этого выражение (2.38) можно переписать в более компактной форме:
PN(E) = e~lE-F")/kBT. (2.40).
Из-за принципа запрета Паули для построения TV-электронного состояния необходимо заполнить N различных одноэлектронных уровней. Следовательно, каждое ./V-электронное стационарное состояние можно оцисать путем перечисления тех N одноэлектронных уровней, которые заполнены в данном состоянии. Чрезвычайно полезно знать величину /^v — вероятность того, что на данном уровне і имеется электрон, если вся TV-электронная система находится в тепловом равновесии г). Эта вероятность равна просто сумме независимых вероятностей нахождения А^-электронной системы в любом из таких состояний, в которых г-й уровень занят:
(суммирование по всем N-fN_-c\p /rJV\ электронным состояниям а, /2 4-п
" в которых имеется электрон
на одноэлектронном уровне і).
Для расчета /f воспользуемся следующими тремя замечаниями.
1. Поскольку вероятность пребывания электрона на уровне і равна единица минус вероятность отсутствия электрона на этом уровне (таковы две единственные возможности, допускаемые принципом Паули), формулу (2.41) можно переписать также в виде
(суммирование по всем N-электронным состояниям у, /f=l — Tj Pn (Ey) в которых отсутствует элект- (2.42)
рон на одноэлектронном уровне і).
2. Взяв любое (N + 1)-электронное состояние, в котором на одноэлектронном уровне і есть электрон, всегда можно построить такое А^-электронное состояние, в котором на уровне і электрона нет,— для этого следует лишь удалить электрон с ї-го уровня, не меняя заполнения остальных уровней. Кроме того, любое ./V-электронное состояние, в котором на уровне і электрона нет, можно построить таким образом всего лишь из одного (N + ^-электронного состояния, имеющего электрон на уровне і 2). Очевидно, что энергии любого А^-электронного и соответствующего (N + 1)-электронного состояний отличаются друг от друга лишь на Ші — энергию единственного одноэлектронного уровня, заполнение которого различно в этих двух состояниях. Следовательно, энергии всех А^-электронных состояний с незаполненным уровнем і будут совпадать с энергиями соответствующих (N + 1)-электронных состояний с заполненным і-м уровнем, если мы уменьшим каждую из этих последних энергий на Ші. Отсюда следует, что выражение (2.42) можно переписать в следующем своеобразном виде:
[суммирование по всем (N + 1)-,N _ Л Vln (Vn+ 1 ? электронным состояниям а, в „ " — — ^n (^a — ©і) которых есть электрон на одно- ' >
электронном уровне I].
В данном случае нас интересует уровень і, определяемый волновым вектором к электрона и проекцией s его спина на некоторую ось.
2) А именно такого, которое получается путем заполнения всех уровней, заполненных ¦в iV-электронном состоянии, ПЛЮС і-й уровень. Теория металлов Зоммерфельда
55
Но с учетом (2.40) можно таким образом преобразовать слагаемые этой суммы: Pw (ЯЇ+1 -»,) = «PN+l(E%+l), (2.44)
где химический потенциал ц, при температуре T определяется выражением
P=Fim-FN- (2.45)
Подставляя (2.44) в (2.43), находим
[суммирование по всем (N + 1)-Wv = І _ р (EN+l) электронным состояниям а, в /2.46)
'1 —¦ ^v+1 ^ а > которых есть электрон на одно-
электронном уровне г].
Сравнивая суммы в (2.46) и (2.41), мы видим, что из (2.46) следует соотношение
f? = i-e^i-»)/hBTf?+i. (2.47)
3. Формула (2.47) представляет собой точное соотношение между вероятностями заполнения г-го одноэлектронного уровня в TV-электронной и в (7V+1)-электронной системах при температуре Т. Когда N очень велико (а нас обычно интересуют N порядка IO22), было бы абсурдом предполагать, что, добавив всего лишь один дополнительный электрон, мы можем существенно изменить эту вероятность для сколько-нибудь значительного числа одноэлектронных уровней Поэтому в (2.47) можно заменить /f+1 на /f и разрешить затем это уравнение относительно /f:
(2-48)
В последующих формулах мы не указываем в явном виде зависимость /г от N, так как в любом случае она входит в выражения лишь через химический потенциал (і [см. (2.45)]. При заданных значениях /г величину N всегда можно рассчитать, замечая, что есть среднее число электронов на одноэлектронном уровне і 2). Поэтому полное число электронов N равно просто сумме средних чисел заполнения для всех уровней:
(2-49)
і г е ~г 1
Это выражение определяет N как функцию температуры T и химического потенциала ft. В большинстве задач, однако, бывают заданы как раз температура и N (или чаще плотность п = NlV). В таких случаях формулу (2.49) используют для определения химического потенциала ц, как функции п и Т, что позволяет исключить его из последующих формул и использовать только температуру и плотность. Однако химический потенциал представляет значительный самостоятельный интерес в термодинамике. Некоторые из его важных свойств рассмотрены в приложении Б 3).
*) Для типичного уровня изменение N на единицу приводит к изменению вероятности заполнения на величину порядка 1 IN. См. задачу 4.
