Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Au 3,01 5,53 6,42 1,21 1,40
Be 1,87 14,3 16,6 1,94 2,25
Mg 2,66 7,08 8,23 1,36 1,58
Ca 3,27 4,69 5,44 1,11 1,28.
Sr 3,57 3,93 4,57 1,02 1,18
Ba 3,71 3,64 4,23 0,98 1,13-
Nb 3,07 5,32 6,18 1,18 1,37
Fe 2,12 11,1 13,0 1,71 1,98
Mn 2,14 10,9 12,7 1,70 1,96.
Zn 2,30 9,47 11,0 1,58 1,8а
Cd 2,59 7,47 8,68 1,40 1,62:
Hg 2,65 7,13 8,29 1,37 1,58
Al 2,07 11,7 13,6 1,75 2,03
Ga 2,19 10,4 12,1 1,66 1,92
In 2,41 8,63 10,0 1,51 1,74
Tl 2,48 8,15 9,46 1,46 1,69
Sn 2,22 10,2 11,8 1,64 1,90
Pb 2,30 9,47 11,0 1,58 1,83
Bi 2,25 9,90 11,5 1,61 1,87
Sb 2,14 10,9 12,7 1,70 1,96
а) Приведенные в таблице значения рассчитаны по'величинам Tjaa, содержащимся в табл. 1.1; при этом было принято, что т = 9,11-10-28 г.
расстояниях порядка 2лIL в /с-пространстве г). С учетом этого мы можем преобразовать (2.28) и записать
(2.29)
Применяя формулу (2.29) для конечных, но макроскопически больших систем, всегда предполагают, что величина (HV) 0s) практически не отличается от ее значения, получаемого в пределе бесконечного объема (например,
1) Наиболее известным случаем, когда такой переход невозможен, является конденсация идеального бозе-газа. При рассмотрении металлов подобной проблемы никогда не воз--никает. 52
Глава 1
предполагается, что в кубе из меди со стороной 1 см на единицу объема приходится такая же электронная энергия, как и в аналогичном кубе со стороной 2 см).
Используя формулу (2.29) для вычисления энергии (2.27), получаем для плотности энергии электронного газа следующее выражение:
E 1 С 1 й2/ф
V= 4ЇЇ3 J (2.30)
k<hp
Чтобы найти EIN, т. е. энергию основного состояния в расчете на один электрон, необходимо поделить (2.30) на NlV = к3Р/Зл2, что дает
Этот результат можно записать также в виде
= (2.32)
где Tf (температура Ферми) определяется формулой
(2.33)
Tf = If = .104к>
_Ь-в (г«/%г__
Заметим, что в отличие от полученного здесь результата в классическом газе энергия, приходящаяся на один электрон и равная 312квТ, при T = O обращается в нуль, а значения (2.32) достигает лишь при T = 2I5TF « IO4 К.
Если известна энергия основного состояния E, то можно рассчитать давление, оказываемое электронным газом, используя соотношение P = —(dE/dV)N. Поскольку E = 3Ib N% F и энергия %F пропорциональна величине кр, которая зависит от V только через множитель пг/з = (7V7F)2/3, получаем *)
P=TT- (2-34)
Можно рассчитать также сжимаемость К или же модуль всестороннего сжатия В = 1 /К, для которых имеем
B = -L=-V^. (2.35)
Поскольку энергия E пропорциональна F_2/3, из формулы (2.34) следует, что P зависит от V как Vi'3, и поэтому
= (2-36)
или
6,13 \5
В
Ш *^O10дин/см2. (2.37)
В табл. 2.2 модули всестороннего сжатия некоторых металлов, рассчитанные по величинам rsla0 по формуле (2.37), сопоставляются с измеренными значениями. По случайным причинам мы получаем очень хорошее согласие для более
Это соотношение между давлением и плотностью энергии остается справедливым
и при отличных от нуля температурах. См. (2.101). [Заметим, что многие формулы примитив-
ной теории Зоммерфельда оказались нечувствительными и к учету взаимодействия между электронами (см. § 23 в книге [3*]).— Прим. ред.] Теория металлов Зоммерфельда 53
Таблица 2.2
Модули всестороннего сжатия для некоторых типичных металлов а)
В, 101» ДИН/СМ2
Металл
для свободных электронов измеренное значение
Li 23,9 11,5
Na 9,23 6,42
К 3,19 2,81
Rb 2,28 1,92
Cs 1,54 1,43
Cu 63,8 134,3
Ag 34,5 99,9
Al 228 76,0
а) Значения В для свободных электронов рассчитаны по формуле (2.37) для газа свободных элект--ронов с использованием измеренной плотности металла.
тяжелых щелочных металлов, однако и в тех случаях, когда формула (2.37) приводит к существенной ошибке (например, для благородных металлов), рассчитанные по ней значения В имеют все же правильный порядок величины; (хотя они и оказываются то в 3 раза больше, то в 3 раза меньше измеренных). Было бы абсурдным ожидать, что давление газа свободных электронов само по себе одно полностью определяет сопротивление металла сжатию, тем не менее табл. 2.2 показывает, что это давление во всяком случае столь же важно, рак и другие эффекты.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ—ДИРАКА
Если температура отлична от нуля, то помимо основного состояния N-электронной системы необходимо рассматривать также и ее возбужденные состояния. Это связано с тем, что в соответствии с фундаментальными принципами статистической механики характеристики Аг-частичной системы в тепловом равновесии при температуре T должны вычисляться путем усреднения по всем стационарным iV-частичным состояниям; каждому такому состоянию приписывается вес Pn(E), пропорциональный е~Е1квт:
-E/kBT
Plf(E) = -Z-Ji-. (2.38)
(Здесь е? — энергия а-го стационарного состояния ./V-электронной системы, а суммирование ведется по всем таким состояниям.)
Знаменатель в выражении (2.38), который называют статистической суммой, связан со свободной энергией Гельмгольца F=U — TS (U — внутренняя энергия, S — энтропия) соотношением
