Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
/ 4лк% \ / V \ кЪ
Поскольку с каждым разрешенным значением к связаны два одноэлектронных уровня (по одному для каждого значения спина), при размещении N электронов должно выполняться условие
(2-2°)
Таким образом, если в объеме V имеется N электронов (т. е. электронная плотность равна п = NlV), то основное состояние iV-электронной системы образуется путем заполнения всех одночастичных уровней, у которых к меньше kF. Уровни с к, превышающими kF, остаются незанятыми; величина kF определяется из соотношения
кр
(2.21)
Для описания такого основного состояния свободных и независимых электронов принято использовать следующую довольно однообразную терминологию.
Сферу с радиусом kF (кF — волновой вектор Ферми), содержащую заполненные одноэлектронные уровни, называют сферой Ферми.
Поверхность сферы Ферми, отделяющую заполненные уровни от незаполненных, называют поверхностью Ферми. (Впоследствии, начиная с гл. 8, мы увидим, что поверхность Ферми есть одно из фундаментальных понятий в современной теории металлов; в общем случае она не является сферической.)
Импульс HkF = pF электронов, находящихся на одноэлектронных уровнях с наиболее высокой энергией, называют импульсом Ферми, а их энергию % F = = Н2кр12т и скорость vF = pF/m — энергией и скоростью Ферми. Скорость Ферми играет в теории металлов роль, аналогичную тепловой скорости v = = (3 к ?T/m)1!2 в классическом газе.
Все эти величины можно рассчитать, зная плотность электронов проводимости и используя соотношение (2.21). При численных оценках удобнее выражать их через введенный выше безразмерный параметр rsla0 (см. стр. 19), который для металлических элементов принимает значения от 2 до 6. Из соотношений (1.2) и (2.21), взятых вместе, получаем
rs rS
ИЛИ
Icf = I^L К-1.
(2.23)
Поскольку волновой вектор Ферми имеет порядок одного обратного ангстрема, длина волны де Бройля для электронов с наибольшей энергией оказывается порядка ангстрема.
1J Если бы она не имела сферической формы, то это состояние не было бы основным — тогда мы могли бы построить состояние с более низкой энергией, переместив электроны с уровней, расположенных далеко от k = 0, на уровни, которые лежат ближе к этой точке. 50
Глава 1
Скорость Ферми определяется формулой
Vf= ( — ) kF = 4'20 -IO8 см/с.
\ т / rs/a0
(2.24)
Это довольно большая скорость (около 1 % от скорости света). Такой результат кажется довольно странным с точки зрения классической механики — ведь мы описываем основное состояние (T = 0), а в классическом газе при T = 0 скорости всех частиц равны нулю. Даже при комнатной температуре тепловая (средняя) скорость классической частицы, имеющей массу электрона, составляет всего лишь около IO7 см/с.
Учитывая, что a0 = H2Ime2, энергию Ферми обычно записывают в вид&
Входящая сюда величина е2/2а0, которую называют ридбергом (Ry), представляет собой энергию связи основного состояния атома водорода; она равна 13,6 эВ *). Ридберг — столь же удобная единица для измерения атомных энергий, как боровский радиус — для измерения атомных расстояний. Поскольку kFa0 порядка единицы, из выражения (2.25) следует, что энергия Ферми имеет величину, характерную для атомных энергий связи. Используя (2.23) и учитывая, что а0 = 0,529 -IO"8 см, получаем удобную для практического применения формулу _
8, = -^3-, I (2.26)
которая показывает, что для плотностей, соответствующих металлическим элементам, энергия Ферми лежит в интервале от 1,5 до 15 эВ.
В табл. 2.1 приведены энергия Ферми, скорость и волновой вектор Ферми металлов, для которых в табл. 1.1 были указаны плотности электронов проводимости.
Чтобы рассчитать энергию основного состояния N электронов в объеме Vr необходимо сложить энергии всех одноэлектронных уровней, расположенных внутри сферы Ферми 2):
E = 2 2 "Srfc2- (2-27>
h<hF
При суммировании любой плавной функции F (к) по всем разрешенным значениям к всегда можно поступать следующим образом.
Так как объем в fc-пространстве, приходящийся на одно разрешенное значение к, есть Ak = Sn3IV [см. (2.18)], удобно записать
S F W = ^S F (к) Ак> (2-28>
к к
поскольку в пределе, когда Ak ->- 0 (т. е. V ->- с»), сумма ][! F (k) Ak переходит в интеграл j dkF (к), если только функция F (к) существенно не меняется на
!) Строго говоря, ридберг — это энергия связи в приближении бесконечной массы протона. Электрон-вольт представляет собой энергию, которую приобретает один электрон при прохождении потенциала 1 В; 1 эВ = 1,602-IO"12 эрг = 1,602-IO"19 Дж.
2) Множитель 2 необходим, поскольку для каждого значения к разрешены два спиновых
уревня. Теория металлов Зоммерфельда 51
Таблица 2.1
Энергии, температуры, волновые векторы и скорости Ферми некоторых металлов а)
Элемент Tja0 Hf TF, IO4K Ap11IO8CM-I vp, Ю' см/с
Li 3,25 4,74 5,51 1,12 1,29
Na 3,93 3,24 3,77 0,92 1,07
К 4,86 2,12 2,46 0,75 0,86
Rb 5,20 1,85 2,15 0,70 0,81
Cs 5,62 1,59 1,84 0,65 0,75
Cu 2,67 7,00 8,16 1,36 1,57
Ag 3,02 5,49 6,38 1,20 1,39
