Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
1J Для удобства вычислений вместо бесконечного твердого тела обычно пользуются периодически повторенным кристаллом, который описывается граничными условиями Борна — Кармана. :354
Глава 12
температурах), а также фотоэлектрический эффект (выбивание электронов падающими фотонами) и все другие явления, в которых электрон покидает твердое тело или переходит из одного твердого тела в другое.
В описании таких явлений решающую роль играет работа выхода, которая определяется как минимальная энергия, требуемая, чтобы извлечь электрон из твердого тела и поместить его вблизи от поверхности. «Вблизи» означает здесь расстояние, большое по атомным масштабам, но малое по сравнению с линейными размерами кристалла; более подробно это условие будет сформулировано ниже.
ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЭНЕРГИЮ СВЯЗИ ЭЛЕКТРОНА.
РАБОТА ВЫХОДА
Чтобы продемонстрировать влияние поверхности на энергию, которая требуется для удаления электрона, сравним периодический потенциал бесконечного кристалла CZinf(r) с потенциалом CZfin (г), фигурирующим в одно-электронном уравнении Шредингера для конечного образца того же материала. Для простоты будем рассматривать только кристаллы кубической системы, обладающие симметрией относительно инверсии. В бесконечном (или периодически повторенном) кристалле потенциал CZinf образуется как сумма вкладов от всех элементарных ячеек Вигнера — Зейтца с центрами в точках решетки
Uial (г) = Y2V (г—R), (18.1)
R
где
V(T)=-е jdr'p(r') Д . (18.2)
с
Интегрирование в (18.2) ведется по ячейке Вигнера — Зейтца С с центром в начале координат; р (г) — суммарная плотность заряда электронов и ионов х).
На расстояниях от ячейки, больших по сравнению с ее размерами, можно воспользоваться мультипольным разложением, принятым в электростатике, и записать
+Xf)3. (18-з>
получая в результате
и(г + (18.4)
где
e=jdr'p(r') (18.5)
с
есть полный заряд в ячейке, а
P= j dr'r'p(r') , (18.6)
с
— ее полный дипольный момент.
х) Следовательно, под одноэлектронным уравнением Шредингера мы понимаем здесь самосогласованное уравнение Хартри, рассмотренное в гл. 11 и 17. Поверхностные эффекты
355
Поскольку кристалл электрически нейтрален и р(г) имеет периодичность решетки Бравэ, каждая элементарная ячейка должна также быть электрически нейтральной, а, следовательно, Q = 0. Кроме того, в кристалле с центром инверсии полный дипольный момент ячейки Вигнера — Зейтца равен нулю. В силу кубической симметрии равен нулю х) е. коэффициент при 1 /г3 (квадрупольный потенциал), а поскольку симметрия относительно инверсии требует обращения в нуль также и коэффициента при 1 /г4, мы можем заключить, что вклад ячейки Вигнера — Зейтца в потенциал v (г) очень быстро (как 1/гБ) спадает на больших удалениях от ячейки.
Поэтому ячейки, расположенные далеко (по атомным масштабам) от точки г, дают пренебрежимо малый вклад в потенциал CZin' (г), и он хорошо аппроксимируется суммой вкладов ячеек, удаленных лишь на несколько постоянных решетки от точки г.
Рассмотрим теперь конечный кристалл. Пусть ионы расположены таким образом, что занимают некоторую конечную область V решетки Бравэ бесконечного кристалла. Предположим, кроме того, что плотность электронного заряда во всех ячейках Вигнера — Зейтца, даже вблизи поверхности, всегда одинакова и имеет тот же вид, что и для бесконечного кристалла (фиг. 18.1, а). Тогда каждая занятая ячейка по-прежнему дает в потенциал вклад v (г — R) и справедливо соотношение
CZfin (г)== 5 V (r-R). (18.7)
R из V
Если бы результат (18.7) был верным, то в точках г, расположенных внутри кристалла и далеко (по атомным масштабам) от его поверхности, потенциал CZfin (г) отличался бы от CZinf(г) только из-за того, что в конечном кристалле отсутствуют ячейки с центрами в' каких-то точках R, удаленных от г. Поскольку вклад таких ячеек в потенциал в точке г пренебрежимо мал, в точках г внутри кристалла, отстоящих от поверхности более чем на несколько постоянных решетки, потенциал CZfin практически уже невозможно было бы отличить от CZfnf (г). Помимо того в точках г, которые лежат вне кристалла и удалены от его поверхности более чем на несколько постоянных решетки, потенциал CZfin (г) был бы пренебрежимо мал из-за быстрого (пропорционально 1 Irb) спадания вкладов в CZfin от каждой занятой ионом ячейки в кубическом кристалле (фиг. 18.1, б).
Поэтому энергия наивысшего заполненного электронного уровня в глубине кристалла оставалась бы равной энергии Ферми Ш F, рассчитанной для идеального бесконечного кристалла с периодическим потенциалом Ulnt. Кроме того,
1J Это следует из того, что интеграл j dr'r-rjp (r') должен обращаться в нуль при
с
і ф j и должен равняться своему среднему значению V3 J A1V2P (г') при і = /. Поэтому первое слагаемое в интеграле
с
сокращается со вторым.
Если кристалл не имеет кубической симметрии, наши общие выводы не меняются, но тогда требуется уделить гораздо большее внимание квадрупольному члену. Сама*зависимость вида 1 Ir3 еще не дает достаточно быстрого спадания с расстоянием, чтобы гарантировать отсутствие взаимного влияния отдаленных ячеек, поэтому приходится учитывать также и угловую зависимость квадрупольного потенциала. Это делает рассмотрение технически более сложным и предпринимать его в наших целях не имеет смысла. :356
