Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
а) Покажите, что математическое ожидание гамильтониана (17.2) в состоянии вида. (17.10) есть1)
f (Jribf M (--—
<Я) = 2 J drW ( —2т V2+f/ion (r)j (r)-f-
+ 4-2 drdr' |г^_2г<| I^i (г)12 1? (г')|2. (17.68);
Hi
Предполагается, что все удовлетворяют условию нормировки Jdr I2 = 1.
б) Учитывая условие нормировки для каждой функции с помощью лагранжсва-множителя %i и рассматривая oi(j и <5i]j как независимые вариации, покажите, что условие стационарности
S1 (H) = 0 (17.69)
непосредственно приводит к уравнению Хартри (17.7).
2. Вывод уравнений Хартри—Фока из вариационного принципа
а) Покажите, что математическое ожидание гамильтониана (17.2) в состоянии видаї (17.13) дается формулой (17.14).
б) Покажите, что, применяя к выражению (17.14) описанную в задаче 1, п. «б» процедуру, можно получить уравнения Хартри—Фока (17.15).
3. Свойства кулоновского и экранированного кулоновского потенциалов.
а) Исходя из интегрального представления 6-функции
6W=Jw^r, (17-70).
а также из того, что кулоновский потенциал ф(г) = — е/^удовлетворяет уравнению Пуас-
сона
_ v20(r) = — ineo (г), (17.71)
докажите, что парный потенциал электрон-электронного взаимодействия F (г) = — еф (г) = = е2/г можно записать в виде
kW=Jw^W (17-72)
где фурье-образ F (к) дается выражением
у (к) = (17.73)
б) Покажите, что фурье-образ экранированного кулоновского взаимодействия Fs (г) = = (eVr) e-hor есть
= MTT (17Л4)
Для этого подставьте (17.74) в интеграл Фурье
,W-J
Hk-Fs (к) (17.75)
1J Обратите внимание на ограничение і ф j (несколько педантичное, если в сумму входит большое число уровней). Подобное ограничение отсутствует в выражении (17.14)' в более общей теории Хартри—Фока, поскольку там прямой и обменный члены при і = / взаимно сокращаются. :352
Глава 12
и вычислите этот интеграл в сферической системе координат. (Интеграл по радиусу удобнее вычислять как контурный.)
в) Исходя из выражения (17.74), покажите, что Vt (г) удовлетворяет уравнению
(-V* +feg) F8 (г) =4^*6 (г). (17.76)
4, Эффективная масса в теории Хартри—Фока вблизи к=0
Покажите, что вблизи минимума зоны (k = 0) одноэлектронная энергия Хартри— •Фока (17.19) квадратична по к:
где
т* 1
1 +0,22 (г Ja0) ¦
(17.78)
5. Расчет, линдха рдовской функции отклика
Используя формулу первого порядка стационарной теории возмущений
S % 1% , (?" vW (17-79)
k' k k'
и записывая плотность заряда как
P (г)=Шк0-)12 = Р° (г)+ Plna(Г) (17.80)
(где /к — равновесное распределение Ферми), покажите, что в первом приближении по полному потенциалу ф фурье-образ индуцированного заряда есть
^r- V^r +<«>. (17.81)
[[Тогда уравнение (17.56) следует из определения (17.37) величины % (q).]
ЛИТЕРАТУРА
1. Gell-Mann M., Brueekner К., Phys. Rev., 106, 364 (1957).
2. Slater J. С., Phys. Rev., 81, 385 (1951); 82, 538 (1951); 91, 528 (1953).
3. Kohn W., Sham L. /., Phys. Rev., 140, А1193 (1965).
4. Gaspar R., Acta Phys. Acad. Sei. Hung., 3, 263 (1954).
5. Debye P., Huekel E., Phys. Zs., 24, 185, 305 (1923).
6. Lindhard /., Kgl. Danske Videnskab. Selskab Mat.-Fys. Medd., 28, No. 8 (1954).
7. Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 1956, т. 30, с. 1058; 1957, т. 32, с. 59; 1958, т. 34, с. 262.
8. Pines D., Nozieres P., The Theory of Quantum Liquids, W. A. Benjamin, Menlo Park, California, 1966. (Имеется перевод: Пайнс Д., Нозъер П. Теория квантовых жидкостей,— M.: Мир, 1967.)
9. Platzman P. M., Walsh W. M., Jr., Foo E-Ni, Phys. Rev., 172, 689 (1968). ГЛАВА 17
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭФФЕКТЫ
РАБОТА ВЫХОДА КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ ДИФРАКЦИЯ МЕДЛЕННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
ИОННАЯ МИКРОСКОПИЯ ЭЛЕКТРОННЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ УРОВНИ
Поскольку нас интересовали главным образом объемные характеристики металла, мы не учитывали наличия поверхностей и работали с идеализированной моделью бесконечного кристалла 1). Это можно оправдать тем, что в типичном по своим размерам макроскопическом кристалле, содержащем примерно IO24 атомов (по IO8 атомов на длине каждой стороны), лишь один из IO8 атомов лежит вблизи поверхности.
Ограничиваясь рассмотрением лишь объемных характеристик, мы не касаемся приобретающей все более важное значение физики поверхностных явлений, занятой изучением таких эффектов, как катализ или рост кристалла, для которых решающую роль играет взаимодействие поверхностных атомов с атомами, ударяющимися о поверхность. Поскольку обычно микроскопическая структура поверхности крайне нерегулярна и ее экспериментальное определение наталкивается на серьезные трудности, физика поверхностных явлений очень сложна — здесь нет такого широкого выбора простых, допускающих экспериментальную проверку моделей, как в физике объемных свойств твердого тела. Поэтому даже в настоящей главе мы не станем рассказывать о подобных поверхностных явлениях, а лишь ограничимся описанием ряда важных методов экспериментального определения структуры поверхности.
Однако даже когда нас интересуют лишь объемные свойства, нам все равно приходится иметь дело с поверхностью при необходимости описать эксперимент, связанный с удалением электрона из металла (например, измерение напряжения посредством вольтметра). Хотя вначале электрон расположен в глубине металла, требуемая для его извлечения энергия всегда зависит не только от условий в объеме образца, но и от поверхностных условий. Это происходит потому, что вблизи поверхности возникают отклонения в распределении электронного заряда, которые ввиду большого радиуса действия кулоновского взаимодействия влияют на энергию уровней вдали от поверхности. Подобными эффектами объясняются явления контактной разности потенциалов (см. ниже), термоэлектронной эмиссии (испарения электронов из металла при высоких
