Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
к0 = 0,815kF (-!j-)
\ а0 J
V2
2,95
(rs/a0)'
V 2
1J В самом деле, выражение для % (ч) в теории Томаса — Ферми можно рассматривать как предел линдхардовской величины % (q) при q -*¦ 0. За пределами приближения независимых электронов
343
Величина в квадратных скобках, равная единице при х = О, представляет собой линдхардовскую поправку к результату Томаса — Ферми *). Заметим, что при q = 2кр диэлектрическая проницаемость є = 1 — 4ях/д2 оказывается неаналитической. Можно показать, что благодаря этому в экранированный потенциал ф точечного заряда на больших расстояниях теперь входит член, который (при T = 0) имеет вид
ф (г) ~ -^i- cos 2k?Fr. (17.59)
Таким образом, на больших расстояниях экранированный потенциал имеет значительно более сложный характер по сравнению с простым потенциалом Юкавы, получаемым в теории Томаса — Ферми,— в нем появляется гораздо медленнее спадающий осциллирующий член. В разных случаях такие осцилляции называют осцилляциями Фриделя или Рудермана — Киттеля. Мы вернемся к их обсуждению в гл. 26.
ЛИНДХАРДОВСКОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ, ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ЧАСТОТЫ
Если плотность внешнего заряда зависит от времени по закону e~iat, то индуцированные потенциал и плотность заряда будут зависеть от времени по тому же закону, а диэлектрическая проницаемость оказывается зависящей не только от волнового вектора, но и от частоты. В предельном случае, когда столкновениями можно пренебречь, рассуждения Линдхарда легко обобщить, воспользовавшись нестационарной теорией возмущений. Оказывается, что все изменение по сравнению со «статическим» результатом (17.56) сводится к добавлению Hсо в знаменатель подынтегрального выражения 2). Такой более общий результат важен для теории колебаний решетки в металлах, а также для теории сверхпроводимости. Здесь мы лишь заметим, что, когда волновой вектор q стремится к нулю при фиксированной частоте со, формула для диэлектрической проницаемости в теории Линдхарда
.(,,.)- 1+J-L Vtq^r ("-<5»)
переходит в выражение (1.37), получаемое в теории Друде в предположении о пространственной однородности возмущения. Таким образом, более изощренный подход Линдхарда согласуется с элементарным рассмотрением в случаях, когда оно применимо.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ—ФОКА С УЧЕТОМ ЭКРАНИРОВКИ
Мы обсудили, как электроны металла экранируют распределение внесенного внешнего заряда. Однако экранировка будет сказываться также и на взаимодействии двух электронов друг с другом, поскольку с точки зрения остальных электронов эти два электрона можно рассматривать как внешние заряды. Если вернуться к уравнениям Хартри — Фока и принять эту точку зрения, то теорию можно значительно улучшить. Мы не можем «подправлять»
г) Величина в квадратных скобках совпадает с функцией F (х), входящей в выражение (17.19) для энергии в теории Хартри для свободных электронов и изображенной на фиг. 17.1, а.
2) Когда знаменатель оказывается равным нулю, для однозначности интеграла нужно при его вычислении добавить к со бесконечно малое положительное мнимое слагаемое. :344
Глава 12
хартриевский член, содержащий самосогласованное поле, ибо именно этот член в первую очередь и приводит к экранировке. Заманчиво, однако, попытаться заменить электрон-электронное взаимодействие в обменном члене х) его экранированной формой, умножив в соотношении (17.19) величину 1/(к — к')2 на обратную диэлектрическую проницаемость 1/е (к — к'). Это позволяет избавиться от сингулярности, приводящей к аномальной расходимости одно-электронной скорости V (k) = (MK) (д% (к)/дк) при к = кр, поскольку экранированное взаимодействие в окрестности q = О ограничено значением ег!к\, а не нарастает до бесконечности как е2/<?2. Если теперь рассчитать скорость V (к) при к = кр, то можно увидеть, что при типичных для металлических плотностей значениях г8 она отличается от своего значения для свободных электронов всего лишь на 5%. Следовательно, благодаря экранировке роль электрон-электронного взаимодействия оказывается не столь существенной 2).
ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
В заключение главы мы коротко рассмотрим ряд глубоких и тонких доводов, высказанных в первую очередь в работах Ландау [7]. Эти доводы а) объясняют, почему приближение независимых электронов оказалось столь успешным, несмотря на значительное электрон-электронное взаимодействие, и б) показывают, каким образом во многих случаях (и особенно при вычислении кинетических коэффициентов) можно качественно учесть эффекты электрон-электронного взаимодействия. Подход Ландау иавестен как «теория ферми-жидкости». Первоначально он предназначался для описания изотопа гелия с массовым числом 3, находящегося в жидком состоянии, но в настоящее время его все шире применяют в теории электрон-электронного взаимодействия в металлах 3).
Прежде всего заметим, что проведенный нами анализ электрон-электронного взаимодействия привел пока к существенному изменению зависимости энергии от волнового вектора для одноэлектронных уровней [см., например, (17.19)], но принципиально не изменил самой фундаментальной структуры модели независимых электронов. Иными словами, мы по-прежнему продолжаем считать, что электронные свойства металла связаны с заполнением определенной совокупности одноэлектронных уровней. Так, даже в приближении Хартри — Фока мы продолжаем описывать стационарные состояния путем задания одноэлектронных уровней i|3j, входящих в слэтеровский детерминант (17.13). Поэтому А^-электронная волновая функция имеет точно такую же структуру, как и в случае невзаимодействующих электронов; единственное изменение заключается в том, что взаимодействие может влиять' на форму одноэлектронных волновых функций 1(зг 4). Далеко не ясно, является ли это разумным способом описания стационарных состояний Л^-электропной системы. Предположим, например, что эффективное электрон-электронное взаимодействие оказалось притягивающим и столь большим, что пары электронов образуют связанные состояния 5). Тогда естественно было бы описывать электроны в металле,
