Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, мы предполагаем, что решения уравнения (17.42) описывают совокупность электронов с энергиями, определяемыми простым классическим выражением (17.43). Чтобы вычислить плотность заряда, создаваемого этими электронами, подставим их энергии в выражение (2.58) для плотности числа электронов; тогда получаем (здесь ? = 1 /квТ)
n(r)= j IHT exp [?((«»A»/2m) — еф (г)—ц)] + 1 * (17.44)
Индуцированная плотность заряда равна —еп (г) + еп0, где второе слагаемое — плотность заряда однородного положительного фона. Плотность фона TIq равна плотности электронов, когда потенциал ^ext и, следовательно, ф равны нулю 2)
п0
— j 4п» exp [? ((№к^/2ітп)—(і)+1] - (17.45)
1J Поскольку ф — полный потенциал, создаваемый как внешним зарядом, так и плотностью заряда, наводимого им в электронном газе, уравнение (17.42) неявно учитывает электрон-электронные взаимодействия в приближении Хартри. Проблема самосогласования {по крайней мере в линеаризованном варианте теории) содержится в условии, что потенциал ф посредством формул (17.36) и (17.41) связан с электронной плотностью заряда pind, определяемой путем решения уравнения (17.42).
2) Значения химического потенциала р. в выражениях (17.44) и (17.45) можно считать совпадающими, если предположить, что потенциал ф (г) достигает существенной величины лишь в конечной области электронного газа, вне которой возмущение равновесной электронной плотности пренебрежимо мало. За пределами приближения независимых электронов 341
Комбинируя (17.44) и (17.45), запишем
Pind (г) = — e[re0(p,-f (г)) —л0(|л)]. (17.46)
Это — основное уравнение нелинейной теории Томаса — Ферми.
Bl дальнейшем будем считать, что потенциал ф достаточно мал и выражение (17.46) можно разложить по ф, сохраняя лишь член первого порядка
Plnd (г) = — е2-^2- ф (г). (17.47)
Сравнение выражений (17.47) и (17.37) показывает, что величина % (q) оказывается постоянной
1 (q) =—е2 -^l и не зависит от q. (17.48)
Подстановка этого значения в формулу (17.41) дает диэлектрическую проницаемость Томаса — Ферми *)
в(ч) = 1 + ^"|Ь (17.49)
Обычно определяют волновой вектор Томаса — Ферми к0:
A20- 4ле2 дп° . 0 dp, (17.50)
Тогда
e(q) = l + -p- (17.51)
Чтобы выяснить смысл к0, рассмотрим случай, когда внешний потенциал создается точечным зарядом
^(г)=4, *ext(D = iJ?-. (17.52)
Полный потенциал металла тогда равен
Разложение Фурье можно обратить, получив в результате (см. задачу 3)
¦(')-J Tgr^'-A—f--^. <"¦*>
Следовательно, полный потенциал равен произведению кулоновского потенциала на экспоненциально спадающий с расстоянием множитель; для расстояний больше 1 Ik0 его величина пренебрежимо мала. Подобную функцию называют экранированным кулоновским потенциалом 2) или (по аналогии с теорией мезонов) потенциалом Юкавы.
Итак, мы доказали наше предположение, что электроны экранируют поле внешнего заряда. Кроме того, мы нашли явное выражение для характерного расстояния, далее которого возмущение практически полностью экранируется.
*) Как мы и ожидали, это выражение для диэлектрической проницаемости действительно стремится к бесконечности при q ->- 0. (См. примечание 3 на стр. 338.)
*) Впервые она появилась в теории электролитов, созданной Дебаем и Хюккелем [5]. :342
Глава 12
Чтобы определить к0, заметим, что для газа свободных электронов при T T F величина дп01д[і есть просто плотность уровней с энергией Ферми: g (Ш F) = = ткр/ТРп1 [формула (2.64)]. Поэтому
H _ те2 _ 1 _ I 16 \ V3 / jj_ \ #
к% ~ п h4F ~ я край ~ [ 3rf> ) \ а0 ) ' 58
(17.55)
Поскольку при металлических плотностях отношение TsIa0 составляет от 2 до 6, к0 имеет тот же порядок, что и kF, т. е. возмущение экранируется на расстояниях, сравнимых с межатомным. Следовательно, экранировка внешних зарядов электронами осуществляется очень эффективно.
ТЕОРИЯ ЭКРАНИРОВКИ ЛИНДХАРДА
Для обсуждения подхода Линдхарда [6] вернемся к уравнению Шредингера (17.42) и не будем использовать полуклассическое приближение, т. е. откажемся от требования медленного изменения ф. Вместо этого с самого начала воспользуемся тем обстоятельством, что нам необходимо знать значение индуцированной плотности только в линейном порядке по полному потенциалу. Поэтому мы можем обычным образом решить уравнение (17.42) в линейном порядке теории возмущений. Зная в линейном порядке по ф волновые функции электронов, мы можем вычислить по формуле (17.6) линейную часть изменения электронной плотности заряда. Все это проделывается стандартным образом (задача 5), поэтому мы приводим здесь лишь конечный результат. Вместо выражения (17.48), получавшегося в линеаризованной теории Томаса — Ферми, имеем теперь более общее выражение
где /к есть равновесная фермиевская функция для свободных электронов с энергией h2k2/2m, т. е.
/к = 1/{ехр [? (ПЧ2І2т~іх)} +1).
Заметим, что, когда волновой вектор q мал по сравнению с кF, числитель подынтегрального выражения можно разложить в точке q = 0:
W2=/к ±4--^r ^r ^ + (17-57)
Если ограничиться в этом разложении линейным по q слагаемым, то получается результат Томаса — Ферми (17.48). Следовательно, как и предполагалось, для плавно меняющихся возмущений теория Линдхарда сводится к теории Томаса — Ферми *). Однако, когда величина q сравнима с kF, выражение для диэлектрической проницаемости в теории Линдхарда оказывается значительно более сложным. При T = O интегралы в (17.56) допускают аналитическое вычисление, и мы находим
