Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
D(г) = j dr'e (г — г') E (г')
[или соответствующее соотношение (17.32)] для пространственно-однородных полей DhE сводится к более знакомому соотношению D (г) = еЕ (г), где диэлектрическая проницаемость
є есть є = J dt г (г). [Последнее соотношение остается справедливым и в более общем случае, когда поля меняются достаточно плавно по сравнению с некоторой длиной г0, определяемой из условия е (г) г» 0 при г > г0.]
2) В силу теоремы о свертке в теории фурье-разложений. Как принято у физиков, мы используем один и тот же символ для обозначения самой функции и ее фурье-образа, различая две величины по их аргументу.
3) При элементарном изложении электростатики иногда говорят, что диэлектрическая
проницаемость металла бесконечна, т. е. что заряды могут свободно передвигаться и среда
поэтому обладает бесконечной поляризуемостью. Мы увидим, что выражение для е (q) допу-
скает такую трактовку, поскольку в пределе пространственно-однородного внешнего поля
(<7 -*¦ 0) величина є (q) действительно становится бесконечно большой. [См. формулу (17.51).)За пределами приближения независимых электронов
339
Для прямого расчета естественнее выбрать не величину диэлектрической проницаемости є (q), а плотность заряда pind (г), который наводится в электронном газе полным потенциалом ф (г). Способы вычисления этой величины будут рассмотрены ниже. Если pind и ф линейно связаны между собой (что справедливо для достаточно слабых ф), то их фурье-образы удовлетворяют соотношениям
pind (q) = x(q)^(q). (17-37)
Мы можем связать є (величину, представляющую непосредственный физический интерес) и X (величину, которая естественно возникает в ходе вычислений), воспользовавшись следующими рассуждениями.
Фурье-преобразование уравнений Пуассона (17.27) и (17.28) дает
<^ext (q) = 4np«t(q), (J? 3g)
д2ф( q) = 4jip(q).
С учетом (17.29) и (17.37) получаем
4л
или
4я
4г (Ф (Ч) - Г (q)) — %(ч)Ф (q), (17.39)
Ф(ч) = ФехЧч)К l-^-X(q)). (17.40)
Сравнивая это с (17.36), можно прийти к соотношению
(17.41)
До настоящего момента рассмотрение оставалось точным (хотя фактически оно сводилось к серии определений). Действительно, мы сделали лишь одно допущение, а именно приняли, что внесенный внешний заряд достаточно мал, чтобы для электронного газа можно было ограничиться изучением линейного' отклика. Серьезные приближения становятся необходимыми при попытках расчета %. Для расчета этой величины широко используются два основных метода, являющихся упрощенными вариантами общей схемы расчета заряда, индуцируемого примесью, в теории Хартри. Первый из них, метод Томаса — Ферми, представляет собой классический (точнее, квазиклассический) предел теории Хартри. Второй — метод Линдхарда, называемый также приближением случайных фаз (ПСФ), представляет собой в сущности проводимый по схеме Хартри точный расчет плотности заряда в присутствии самосогласованного поля, создаваемого внешним зарядом и электронным газом. В нем лишь учтено с самого начала, что нам нужно вычислить pind только в линейном порядке по ф, благодаря чему расчеты теории Хартри несколько упрощаются.
Преимущество метода Томаса — Ферми состоит в том, что он применим даже в отсутствие линейной связи между pind и ф. Его недостаток заключается в том, что он дает надежные результаты лишь для очень плавно меняющихся внешних потенциалов. После линеаризации окончательного выражения, получаемого по методу Томаса — Ферми, оно совпадает с результатом Линдхарда при малых q и оказывается менее точным, когда значения q не малы. Ниже по-отдельности рассмотрены оба случая.
/ \ л 4л , . . 4л pind:340
Глава 12
ТЕОРИЯ ЭКРАНИРОВКИ ТОМАСА—ФЕРМИ
В принципе, чтобы найти плотность заряда в присутствии полного потен* циала ф = ^ext + ^ind, мы должны решать одноэлектронное уравнение Шредингера 1J
v^ W - еф (T) ь (т) = (г), (17.42)
а затем, воспользовавшись одноэлектронными волновыми функциями, построить электронную плотность по формуле (17.6). Подход Томаса — Ферми основан на упрощении этой процедуры, которое допустимо, когда полный потенциал ф (г) — очень плавно меняющаяся функция от г. Термин «плавно меняющаяся» имеет здесь такой же смысл, как и в гл. 2 и 12; мы предполагаем, что зависимость энергии от волнового вектора электрона может быть задана в каждой точке г, н считаем, что эта зависимость имеет вид
gW = T^--e^W- (17-43)
Таким образом, энергия отличается от своего значения для свободных электронов на величину полного локального потенциала.
Очевидно, выражение (17.43) имеет смысл только для волновых пакетов. Их типичная ширина в координатном пространстве составляет около l/kF. Поэтому необходимо потребовать, чтобы потенциал ф (г) менялся плавно на расстояниях порядка фермиевской длины волны. Для фурье-коэффициентов это означает, что расчет дает надежные результаты только при значениях % (q), относящихся к q <^kF. Существование подобного ограничения будет проверено в явной форме, когда мы обратимся к анализу более точного подхода Линдхарда.