Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 12
электрона. Соответствующая формула напоминает закон сохранения импульса:
k' = к + q + К, (15.4)
где К — любой вектор обратной решетки.
Соотношение (15.4) является частным случаем «закона сохранения квазиимпульса», который подробно обсуждается в приложении H (т. 2). Здесь мы лишь отметим, что формула (15.4) представляет собой весьма правдоподобную модификацию закона сохранения импульса, справедливого для пустого пространства. Действительно, хотя электронные уровни в периодическом потенциале и нельзя считать отдельными плоскими волнами, как в пустом пространстве, тем не менее их можно представить в виде суперпозиции плоских волн, волновые векторы которых отличаются лишь на векторы обратной решетки [см., например, разложение (8.42)].
Так как длина волны видимого света порядка 5000 Л, волновой вектор фотона q обычно имеет величину порядка IO5 см-1. Типичные размеры зоны Бриллюэна, с другой стороны, оказываются порядка kF « IO8 см-1. Поэтому слагаемое q в (15.4) может сдвинуть волновой вектор к лишь на десятые доли процента от размеров зоны Бриллюэна. Поскольку два уровня в одной и той же энергетической зоне, волновые векторы которых отличаются на вектор обратной решетки, фактически идентичны, смещением на К также можно пренебречь, и мы приходим к важному выводу, что волновой вектор блоховских электронов практически не меняется при поглощении фотона.
Чтобы энергия электрона изменилась на величину Hсо, равную обычно нескольким электрон-вольтам, он должен перейти из одной зоны в другую без существенного изменения волнового вектора. Такие процессы называются межзонными переходами *). Они начинают происходить, когда при некотором значении к энергия фотона Йш превысит разность энергий <&п> (к) — Шп (к) двух зон п и п, из которых %п (к) лежит ниже уровня Ферми (чтобы имелся электрон, способный к переходу), а Шп> (к) — выше уровня Ферми (чтобы принцип Паули не запрещал перехода на этот конечный уровень). Подобная критическая энергия или частота называется порогом межзонных переходов 2).
Межзонный переход может представлять собой как возбуждение электронов из зоны проводимости (самой высокой зоны, содержащей электроны) на более высокие незанятые уровни, так и возбуждение электронов из заполненных зон на незанятые уровни в зоне проводимости (самой низкой зоне, содержащей незанятые уровни).
В щелочных металлах заполненные зоны лежат гораздо ниже зоны проводимости, поэтому порог межзонных переходов определяется возбуждением электронов зоны проводимости на более высокие уровни. Поскольку поверхность Ферми в щелочных металлах очень близка к сфере свободных электронов, энергетические зоны выше зоны проводимости также очень похожи на зоны
1J Точнее, они называются прямыми межзонными переходами. Анализ оптических данных обычно затруднен из-за возможности непрямых межзонных переходов, при которых волновой вектор к электрона не сохраняется, и избыточный квазиимпульс уносится квантованным колебанием решетки (фононом). Поскольку энергии фононов гораздо меньше энергий оптических фотонов в моновалентных металлах (гл. 23 и 24), наши общие выводы не очень чувствительны к возможности непрямых переходов, и мы будем пренебрегать ими. Их, однако, нельзя игнорировать в более точной количественной теории.
2) В полуклассической модели, излагавшейся в гл. 12 и 13, межзонные переходы запрещены условием (12.10). Когда частота становится сравнимой с порогом межзонного перехода, полуклассическим выражением для высокочастотной проводимости (13.34) следует пользоваться с большой осторожностью, поскольку поправки к нему, даваемые более общей формулой (13.37), могут быть чрезвычайно важными. [Zk0- ад-
Фиг. 15.9. Определение пороговой энергии межзонного поглощения в модели свободных
электронов для щелочных металлов. Численно Ro = 0,64 f р-
ficv/Sf
Фиг. 15.10. Величина Re а (со), найденная из измерений коэффициентов отражения трех
щелочных металлов. (С любезного разрешения Н. Смита.) Хорошо виден порог межзонных переходов, расположенный довольно близко к 0,64? р, где — фермиев-ская энергия свободных электронов, приведенная в табл. 2.1. :296
Глава 12
свободных электронов, особенно для векторов к внутри «сферы» Ферми, которая не доходит до граней зоны Бриллюэна. Чтобы получить оценку пороговой энергии Йсо в модели почти свободных электронов, заметим, что занятые уровни зоны проводимости, энергии которых лежат ближе всего к следующим по высоте свободным от электронов уровням с тем же волновым вектором к, отвечают точкам поверхности Ферми, находящимся ближе всего к брэгговским плоскостям, т. е. тем точкам (см. фиг. 15.1), где сфера Ферми пересекает прямые TN. Таким образом, для порога межзонных переходов имеем
Здесь к0 — длина отрезка TN, соединяющего центр зоны Бриллюэна с серединой одной из граней зоны (фиг. 15.9). Она связана с Jcf соотношением (см. стр. 284) kF = 0,877 к0. Выражая к0 через kF, из (15.5) получаем
Йсо = 0,64 ШР. (15.6)
На фиг. 15.10 показаны величины Rea(co) для натрия, калия и рубидия, определенные по измеренным коэффициентам отражения. В области низких частот происходит падение Re а с увеличением частоты, которое характерно для модели свободных электронов (см. задачу 2). Вблизи точки 0,64 % F наблюдается, однако, заметный рост Rea(co), что служит убедительным подтверждением расчетов порога межзонных переходов в приближении почти свободных электронов.
