Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Используя приведенные выше результаты, можно построить теорию эффекта да Гааза — ван Альфена для свободных электронов. Не останавливаясь на этой теории 3), перейдем к изложению несколько модифицированного варианта простых, но тонких рассуждений Онсагера, обобщающих на случай блоховских электронов результаты, полученные для свободных электронов. Эти рассуждения имеют непосредственное отношение к проблеме определения поверхности Ферми.
УРОВНИ БЛОХОВСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Проведенное Онсагером обобщение результатов, полученных Ландау для свободных электронов, справедливо лишь для магнитных уровней с довольно большими квантовыми числами. Однако, как мы убедимся, эффект де Гааза —
') Именно поэтому вырождение (14.4) пропорционально площади поперечного сечения образца.
2) Следует добавить, что эти результаты справедливы лишь в случае, если радиус классического кругового движения электрона с энергией % и проекцией импульса Tikz не сравним с поперечными размерами ящика (образца). Ограничение является самым сильным для электрона с энергией, равной %F и kz = 0:
G3C m,G3c V ell I
При IO3 Гс величина he/eIIzzlQ-10 см2. Так как kp обычно порядка IO8 см-1, результаты справедливы для образцовс размерами порядка сантиметра, но становятся неверными для образцов размером 0,1 мм.
Ее можно найти в книге Пайерлса [9|. :272
Глава 12
ван Альфена обусловлен уровнями с энергией, близкой к энергии Ферми, которые почти всегда действительно имеют очень высокие квантовые числа. В теории свободных электронов, например, если исключить случай, когда почти вся энергия электрона связана с его движением параллельно полю, уровню с энергией Шр соответствует квантовое ЧИСЛО V, имеющее порядок Ш p/h(ue = = 8 Fl[(eKlmc) Н]. Поскольку
(14.6)
а энергия Ш F обычно составляет несколько электрон-вольт, то даже в сильных полях, достигающих IO4 Гс, квантовое число v будет порядка IO4.
Энергию уровней с высокими квантовыми числами можно точно вычислить с помощью принципа соответствия Бора, согласно которому разность энергий двух соседних уровней равна постоянной Планка, умноженной на частоту классического движения с энергией этих уровней. Поскольку kz является интегралом полуклассического движения, мы применим этот принцип к уровням с заданным значением кг и с квантовыми числами v и v + 1.
Пусть Sv (кг) — энергия v-ro разрешенного уровня х) при заданном значении кг. Тогда, согласно принципу соответствия,
Ш^Ы-ШЛЬ,)- TiVv^b2) • (14-7)
где T (Ш, kz) есть период полуклассического движения по орбите, определяемой значениями Emkz [выражение (12.42)]'
T {Ш, kz) = дА(^кг) . (14-8)
а А (Ш, кг) — площадь, охватываемая орбитой в fc-пространстве. Комбинируя (14.8) и (14.7), можно записать (не указывая явно переменной кг)
(gv+i-Sv) -af- = (14.9)
Так как нас интересуют значения Sfv порядка Ш F, мы можем значительно упростить соотношение (14.9). На основе результатов для свободных электронов можно ожидать, что разность энергий соседних уровней Ландау будет порядка Н(ос, что по крайней мере в IO4 раз меньше энергии самих уровней. Поэтому с чрезвычайно высокой точностью можно считать, что
—г A (fcv) = . (1410)
Подставляя это выражение в (14.9), получаем соотношение
A(%v+i)-A(?v) = ^, (14.11)
которое означает, что площади, охватываемые классическими орбитами с соседними разрешенными энергиями (и одинаковым кг), отличаются одна от другой
*) В последующих рассуждениях мы рассматриваем одну зону и потому не указываем ее номер. Это сделано прежде всего для того, чтобы избежать путаницы между номером зоны я и магнитным квантовым числом v. Везде в этой главе ^v(Zcz) есть разрешенная энергия электрона в рассматриваемой зоне, соответствующая квантовому числу v и проекции волнового вектора kz. При необходимости иметь дело более чем с одной зоной мы использовали бы обозначение (kz).
_?L = A. 10-8 эВ/Гс = 1,16.10-8 эВ/Гс,
тп т ' ' Определение поверхности Ферми
273
на постоянную величину
(14.12)
Тот же вывод можно сформулировать иначе: при больших v площадь, охватываемая полуклассической орбитой при разрешенной энергии Sv и постоянном значении kz, должна следующим образом зависеть от v:
(14.13)
где X не зависит от v х). Это и есть знаменитый результат Онсагера (который получил его другим способом, используя правило квантования Бора — Зоммерфельда).
ПРОИСХОЖДЕНИЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ
Первопричиной осцилляций де Гааза — ван Альфена и связанных с ними эффектов является наличие резко выраженной осцилляторной структуры в плотности электронных уровней, что вытекает из условия квантования (14.13). Плотность уровней имеет резкий максимум 2), когда энергия S оказывается равной энергии экстремальной орбиты 3), удовлетворяющей условию квантования. Причина этого поясняется на фиг. 14.5. На фиг. 14.5, а представлена совокупность орбит, удовлетворяющих условию (14.13) при заданном v. Они образуют в ^-пространстве трубку с площадью поперечного сечения (v -f- К) А А. Вклад в g (<f) dS от уровней Ландау, отвечающих орбитам на такой v-й трубке, равен числу этих уровней с энергиями между % и % + dE. Число уровней в свою очередь пропорционально площади 4) части трубки, заключенной между изоэнергетическими поверхностями с энергиями S и S + d Ш. На фиг. 14.5, б показана эта часть трубки в случае, когда орбиты с энергией S на трубке не являются экстремальными, а на фиг. 14.5, в представлена часть трубки, когда на ней есть экстремальная орбита с энергией S. Очевидно, что площадь такой части трубки в последнем случае во много раз больше, поскольку вблизи этой орбиты энергия уровней очень медленно изменяется вдоль трубки.
