Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Справедливость выражения (14.1) доказывается с помощью простых, но удивительно смелых рассуждений. Объяснение не может быть классическим, поскольку, согласно теореме Бора и ван -Певен (см. гл. 31), никакие свойства
*) Крутящий момент существует лишь в том случае, когда намагниченность не параллельна полю. Поскольку эффект нелинеен, это условие обычно выполняется, исключая случаи, когда поле направлено по определенным осям симметрии.
2) Поле в импульсе, конечно, меняется медленно.по сравнению с временем релаксации металла, так что намагниченность все время находится в равновесии с мгновенным значением поля.
3) См. статью Ландау [3], опубликованную в 1930 г. Обратите внимание на эту дату. Ландау предсказал осцилляции, не зная про эксперимент де Гааза и ван Альфена, но полагал, что на практике нельзя создать магнитное поле, достаточно однородное для их наблюдения (см. задачу 3).
2ле 1
(14.1)
he Ae tM
?3 55
я —і
їм Амплитуда сигнала
Фиг. 14.3. Некоторые эффекты, при которых наблюдаются осцилляции (самым вввестным примером служит эффект де Гааза — ван Альфена). а — поглощение авука в вольфраме (Джонс и Рейн [5]);
б — зависимость величины dT/dH от поля в сурьме (Маккомб и Сейдсл И); е — зависимость магнетосопротивления галлия от поля при 1,3 К. г — термо-э. д. с, в висмуте при 1,6 К [7];
0 — осцилляции, сопровождающие эффект Пельтье в цинке [6lj е — теплопроводность висмута при 1,6 К [7]. :270
Глава 12
находящейся в тепловом равновесии классической системы не могут зависеть от магнитного поля. Этот мощный результат справедлив и для полуклассических систем (определенных в гл. 12 и 13), поэтому в случае эффекта де Гааза — ван Альфена полуклассическая модель несомненно непригодна. С таким положением вещей мы сталкиваемся каждый раз, когда, согласно полуклассической теории, проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную
полю, представляет собой замкнутую орбиту. Если это имеет место (что часто бывает), то энергия движения, перпендикулярного полю Н, квантуется. Чтобы найти соответствующие уровни энергии, необходимо в принципе вернуться к уравнению Шредингера для электрона в периодическом кристаллическом потенциале в присутствии магнитного поля. Полное решение такой проблемы представляет исключительно сложную задачу, которую удается довести до конца лишь в простом случае свободных электронов в магнитном поле (т. е. для нулевого периодического потенциала). Ниже мы лишь приводим результаты для случая свободных электронов; вывод их можно найти в любом стандартном учебнике *). Эти результаты будут использованы только для пояснения и подтверждения гораздо более общей, но менее строгой теории магнитных уровней в периодическом потенциале, предложенной Онсагером.
Поверхность постоянной ¦энергии &(k) = gF
Фиг. 14.4. Примеры различных экстремальных орбит. Для поля Н, направленного по оси ft,, орбиты 1 и 2 представляют собой; максимальные экстремальные орбиты, а з — минимальная экстремальная орбита. Когда поле направлено по оси ft,, имеется только одна экстремальная орбита 4.
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Орбитальные 2) уровни энергии электрона в кубическом ящике со сторонами длиной L, параллельными осям х, у и z, в присутствии направленного по оси Z постоянного однородного магнитного поля H определяются двумя квантовыми числами, v и kz:
»*<*.>-¦?-«+ (v+4-)
Йсо-
(14.2)
COa = -
еН
!) См., например, учебники Ландау и Лифшица [8] или Пайерлса [9]. Книга Пайерлса содержит более удачное обсуждение довольно тонкого пространственного граничного условия. Для нахождения энергетических уровней задачу путем простого преобразования сводят к задаче об одномерном гармоническом осцилляторе.
2) Выражение (14.2) не включает в себя энергию взаимодействия между полем и спином электрона. Мы рассмотрим значение этого добавочного члена ниже, а пока будем пренебрегать им. Определение поверхности Ферми
271
Здесь квантовое число v принимает все целые неотрицательные значения, а кг имеет те же значения, что и в отсутствие магнитного поля [см. (2.16)], т. е.
Icz=Ilp- (14.3)
при любом целом пг. Каждый уровень сильно вырожден. Число уровней с энергией (14.2) при фиксированных v и kz равно (множитель 2 учитывает спиновое вырождение)
ІІ HLK (14.4)
Поскольку
—-= 2,068.ю-7 Гс-см2, (14.5)
в поле напряженностью 1 кГс (типичное поле при экспериментах по эффекту де Гааза — ван Альфена) и для образца размером 1 см вырождение имеет порядок IO10. Вырождение отражает тот факт, что классический электрон с данными энергией и кг движется по спирали вдоль прямой, которая параллельна оси z, но может иметь произвольные координаты X и у ').
Выражение (14.2) выглядит вполне правдоподобно. Поскольку сила Лоренца не имеет составляющей в направлении Н, поле не оказывает влияния на энергию движения в этом направлении и она остается равной h2kll2m. Однако энергия движения, перпендикулярного полю, которая в его отсутствие была бы равна H2 (кх + kl)l2m, теперь проквантована в единицах Йюс — постоянной Планка, умноженной на частоту классического движения (см. стр. 29). Это явление называется орбитальным квантованием. О совокупности всех уровней с заданным v (и произвольным kz) принято говорить как о \-м уровне Ландау 2).
