Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
J^!)=* *L (cef+ e-+—^-). (27.53)
8(со) + 2 Зу V ^ ' л/(со2—со2)/ 4 '
470
Глава 27
В частности, статическая диэлектрическая проницаемость определяется выражением
е„—1 Ал і + , _ , е2
в0 + 2 Зу V маа
а при высоких частотах *) диэлектрическая проницаемость удовлетворяет соотношению
?=l = |L («¦ + «-), (ю«со«со0). (27.55)
Удобно выразить е (со) через е0 и е поскольку эти два предельных значения допускают простое экспериментальное определение: е0 есть статическая диэлектрическая проницаемость кристалла, а ем — диэлектрическая проницаемость на оптических частотах и связана поэтому с показателем преломления п соотношением п2 == е оо. Справедливо уравнение
е ((О)—1 _ Еоо — 1 , 1_ ( 8„ — 1 _ Boo -
8 (СО)+2 ~~ воо + 2
которое можно разрешить относительно є (со):
eW-ft. + ^It. (27.57)
-где
80 + 2
ПРИМЕНЕНИЕ К СЛУЧАЮ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ОПТИЧЕСКИХ МОД
ИОННЫХ КРИСТАЛЛОВ
Чтобы найти законы дисперсии нормальных мод в ионном кристалле, мы можем следовать общему методу, описанному в гл. 22. Однако при этом могут встретиться серьезные вычислительные трудности, связанные с очень большим радиусом электростатического взаимодействия между ионами. Разработаны методы, позволяющие решить эту задачу; они аналогичны методам, применявшимся нами в гл. 20 при расчете когезионной энергии ионного кристалла. Оказывается, однако, что для длинноволновых оптических мод можно обойтись без таких вычислений, сформулировав эту задачу как задачу макроскопической электростатики.
В длинноволновой (к « 0) оптической моде противоположно заряженные ионы в каждой из элементарных ячеек испытывают противоположно направленные смещения, что приводит к появлению отличной от нуля плотности поляризации Р. С этой плотностью поляризации в общем случае связаны макроскопические электрическое поле Е и электрическая индукция Б, удовлетворяющие соотношению
Э = еЕ = Е + 4яР. (27.59)
В отсутствие свободных зарядов имеем]
Ў •0 = 0. (27.60)
х) Употребляя выражение «высокие частоты», мы имеем в виду в этом случае частоты, значительно превышающие частоту колебаний решетки, но малые по сравнению с частотами -атомных возбуждений. Частота видимого света обычно удовлетворяет такому условию.
Диэлектрические свойства изоляторов
171
Далее, поле Ет,ого является градиентом некоторого потенциала г). Из (27.6) следует, что то же самое справедливо и для поля Е, поэтому
V X Е = V х (—Тф) = 0. (27.61)
В кубическом кристалле индукция О параллельна Е (т. е. є не есть тензор), и, следовательно, согласно (27.59), они оба параллельный*. Если зависимость всех этих трех величин от пространственных координат имеет вид
ік.г
(27.62)
то уравнение (27.60) сводится к условию к-Б0 = 0, откуда вытекает, что или О = 0, или В, Е и Р_!_к, (27.63)
тогда как из уравнения (27.61) имеем к X Е0 = 0, откуда следует, что
или Е = 0, или Е, Б и Р||к. (27.64)
В продольной оптической моде (отличная от нуля) плотность поляризации Р параллельна вектору к, поэтому условие (27.63) сводится к условию равенства нулю индукции Б. Это согласуется с соотношением (27.59) лишь в том случае, если
Е=—4лР, е = 0 (продольная мода). (27.65)
С другой стороны, в поперечной оптической моде (отличная от нуля) плотность поляризации Р перпендикулярна вектору к, что согласуется с условием (27.64), лишь если поле Е равно нулю. При этом, однако, соотношение (27.59) может выполняться лишь в случае
Е = 0, е = со (поперечная мода). (27.66)
В соответствии с формулой (27.57) е = со при со2 = сог; следовательно, результат (27.66) определяет сот как частоту длинноволновой (к ->0) поперечной оптической моды 2). Частота сй?, продольной оптической моды определяется соотношением е = 0 [см. (27.65)1; тогда формула (27.57) дает
с0і = «г.
Всю
(27.67)
Это соотношение, связывающее частоты продольных и поперечных оптических мод со статической диэлектрической проницаемостью и показателем преломления, называется соотношением Лиддана — Сакса — Теллера. Обратите внимание, что оно полностью следует из той интерпретации, которую формулы (27.65) и (27.66) дают нулям и полюсам величины е (со), а также из ее функционального вида (27.57). Иными словами, справедливость соотношения (27.67) связана с тем, что в представляющей для нас интерес области частот величина е как функция от со2 равна сумме постоянной величины и простого полюса. Ввиду этого соотношение (27.67) имеет гораздо более широкую область применимости, чем грубое предположение (27.52) об аддитивных поляризуемостях, и сохра-
*) То обстоятельство, что на оптических частотах мы учитываем только электростатические поля, может вызвать сомнения, так как правая часть в полном уравнении Максвелла V X Е = — (1/с) ЗВ/аг может и не быть пренебрежимо малой в этом случае. Вскоре мы увидим, однако, что полное электродинамическое рассмотрение приводит почти к тем же самым результатам.
2) Поэтому она получила индекс «Г».— Прим. ред.
172
Глава 27
няется в горазо более тонкой модели деформируемых ионов, применяемой прш рассмотрении двухатомных ионных кристаллов.
