Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Фоионы в металлах
139
вать самоподдерживающиеся колебания плотности электронов, происходящие с плазменной частотой сор, величина которой определяется выражением
Производя замену е -+-Ъе, т М, пе ->-/г1 = пе1Ъ, мы можем прийти к заключению, что в системе заряженных точечных ионов также должны наблюдаться длинноволновые колебания с плазменной частотой ?2Р:
Это противоречит полученному в гл. 22 выводу, согласно которому в пределе больших длин волн частоты нормальных мод моноатомной решетки Бравэ должны стремиться к нулю линейно по к. Прежний результат неприменим выданном случае потому, что приближение (22.64), приводящее к линейному выражению для со (к) при малых к, справедливо только в том случае, когда силы взаимодействия между ионами, расположенными на расстоянии R друг от друга, пренебрежимо малы при R порядка \1к. Но сила, пропорциональная обратному квадрату расстояния, столь медленно спадает с расстоянием, что, каким бы малым ни был волновой вектор к, взаимодействие ионов, находящихся на расстоянии R 5= может вносить существенный вклад в динамическую матрицу (22.59) 1). И тем не менее совершенно ясно, что фононный спектр металлов содержит ветви, в которых со стремится к нулю линейно по к. Это непосредственно видно из данных по рассеянию нейтронов и следует из того, что в удельной теплоемкости металлов 2) имеется член, пропорциональный Т3, который характерен для подобной линейной зависимости 3).
Чтобы понять, почему частота фононов линейна по к при малых к, рассмотрение движения ионов необходимо проводить с учетом влияния электронов проводимости.
Для описания реакции электронов используется адиабатическое приближение (см. гл. 22, стр. 53), согласно которому в любой момент времени электроны распределены в пространстве таким образом, как если бы ионы были «заморожены» в их мгновенных положениях. Напомним также, что, как мы видели в гл. 17, в присутствии распределенного внешнего заряда (в данном случае создаваемого мгновенным распределением ионов) электроны располагаются в пространстве таким образом, чтобы экранировать поле внешних зарядов. Следовательно, при сравнительно медленных колебаниях ионов пространственное распределение легко подвижных электронов проводимости непрерывно подстраивается так, чтобы компенсировать длиннодействующую часть поля ионов. В результате возникает эффективное ионное поле, которое оказывается короткодействующим и способно поэтому привести к закону дисперсии фононов, линейному по к при больших длинах волн.
Часто исходное прямое кулоновское взаимодействие называют «голым» ион-ионным взаимодействием, а короткодействующее эффективное взаимодействие, возникающее вследствие электронной экранировки, называют «одетым».
Чтобы рассчитать, основываясь на этой картине, реальные час оты фононов, будем считать, что мгновенное пространственное расположение ионов, отве-
х) Вспомним, например, что расположенные в одной плоскости заряженные астицы создают электрическое поле, не зависящее от расстояния до этой плоскости. См. также гл. 22, примечание 2 на стр. 68.
2) См. задачу 2.
3) См. задачу 2 в гл. 23
4nnt (Ze)*
М
(Zm \ , иг)
(26.2)
140
Глава 26
чающее фонону с волновым вектором к, служит для электронов проводимости волной плотности внешнего заряда *) с волновым вектором к. Согласно формуле (17.36), связанное с таким распределением поле уменьшается (за счет экранирующего действия электронов) в є (к) раз [є (к) — диэлектрическая проницаемость электронного газа]. Поскольку квадрат фононной частоты со2 (к) пропорционален возвращающей силе, а следовательно, полю, мы должны уменьшить величину (26.2) в е (к) раз, ибо она была получена нами без учета экранировки Это дает «одетую» фононную частоту:
«'«-^ іГ(26'3)
При к -+0 диэлектрическая проницаемость определяется формулой Томаса — Ферми (17.51):
е(к) = 1 + $-. (26.4)
поэтому при к -*-0
Чтобы убедиться, что эта формула дает разумную величину для скорости фоно-на, возьмем в качестве оценки для к0 его значение (17.55) в модели свободных электронов 2), которое определяется соотношением
т=-^' (26-6)
и воспользуемся при вычислении электронной плазменной частоты выражением (2.21):
п.-^. (26-7)
х) Мы пренебрегаем усложнениями, обусловленными дискретностью решетки (а следовательно, неоднозначностью вектора к, который определяется с точностью до произвольного вектора обратной решетки).
2) Возможен и иной подход. Воспользуемся точным длинноволновым соотношением (17.50)
4я<2 1
а также термодинамическим тождеством
\п дР
и запишем (26.5) в виде
дп/др дп
ІрГоГ' р1оп—т
Как известно, механика сплошных сред (без учета анизотропии) утверждает, что скорость звука в любой среде равна корню квадратному из производной давления по плотности. Следовательно, формула (26.5) справедлива в приближении, в,котором сжимаемость металла определяется в основном вкладом от электронов (главный вклад в плотность, разумеется, дают ионы), а для справедливости формулы (26.8) необходимо, чтобы в сжимаемости преобладал вклад свободных электронов. По случайным причинам эти условия почти точно выполняются в щелочных металлах (см. т. 1, стр. 53). Очевидно, однако,5что формула (26.8) не учитывает по меньшей мере эффекты электрон-электронного взаимодействия и отталкивания между ионными сердцевинами.
