Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ШИРИНА ОДНОФОНОННЫХ МАКСИМУМОВ
Некоторые типичные распределения нейтронов показаны на фиг. 24.4. Обратите внимание, что, хотя однофононные максимумы обычно хорошо различимы, они не являются бесконечно узкими, как можно было бы предположить, исходя из нашего анализа. Это происходит потому, что реальные кристаллы не идеально гармоничны. Получаемые в гармоническом приближении стационарные состояния являются всего лишь приближенными: даже если реальный кристалл находится в некоторый момент времени в одном таком состоянии (характеризуемом определенным набором фононных чисел заполнения), то со временем он обязательно перейдет в суперпозицию других состояний (с иными фононными числами заполнения). Если, однако, гармонические стационарные состояния представляют собой достаточно хорошее приближение к точным стационарным состояниям, их распад может быть достаточно медленным; тогда для описания процессов, происходящих в кристалле, можно по-прежнему пользоваться представлением о фононах при условии, что фононам будут приписаны определенные конечные времена жизни, учитывающие неизбежный распад приближенного гармонического состояния. Со временем жизни т фонона связана неопределенность Й/т его энергии. Закон сохранения энергии, определяющий положение однофононных максимумов, будет тем самым ослаблен.
Более подробно мы коснемся этих вопросов в гл. 25. Здесь мы просто отметим, что однофононные максимумы, хотя и уширяются, но все же остаются явно различимыми. Они действительно обязаны однофононным процессам — это хорошо подтверждается тем, что кривые со„ (к), определяемые по их положениям, согласуются между собой, хотя данные, получаемые путем анализа однофононных максимумов, в значительной мере избыточны. Информацию о конкретном фононе можно получить несколькими способами, рассматривая акты рассеяния с одинаковой величиной передаваемой энергии и разной передачей импульса, отличающейся на вектор обратной решетки х).
Важно подчеркнуть, что решения однофононного уравнения сохранения (24.12) действительно существуют в весьма широкой области энергий и передач импульса и позволяют проводить систематическое определение фононного спектра. Чтобы убедиться в этом, вначале для простоты предположим, что энергия Е падающего нейтрона пренебрежимо мала по сравнению с энергиями
*) Можно также извлечь информацию о векторах, поляризации. Это следует из того, что поперечное сечение данного однофононного процесса, как показано в приложении О, пропорционально величине
I еЛк).(р-р')* |«,
где е8 (к) — вектор поляризации участвующего в процессе фонона, а р' — р — изменение импульса нейтрона.
7 1,5 2 2,5
Длина волны нейтрона, А
6
¦*—Энергия нейтрона, зВ
Фиг, 24.4. Типичные наблюдаемые в эксперименте группы нейтронов для меди" (а) и германия (б). (Из работ [2, 31.)
И обоих случаях число нейтронов, вылетающих в заданном направлении иа кристалла при фиксированной энергии падающих нейтронов, покаааво в вависимости от переменной, характеризующей анергию рассеянных нейтронов.
106
Глава 24
фононов. Поскольку максимальная энергия фононов имеет порядок /св9 в, а температура 0 в обычно составляет 100—1000 К, данное условие означает, что мы рассматриваем рассеяние так называемых «холодных» нейтронов.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ОДНОФОНОННОЕ РАССЕЯНИЕ
Если Е — 0, то уравнение (24.13) не будет иметь решений (нейтрон с нулевой энергией не может испустить фонон, сохранив при этом свою энергию). Однако закон сохранения (24.12) для поглощения фонона принимает тогда вид
(24.16)
это уравнение должно иметь решение при любом направлении р', что видно из фиг. 24.5. Аналитически сказанное следует из того, что энергия нейтрона
Фиг. 24.5. Одномерная иллюстрация того факта, что законы сохранения для однофононного поглощения могут всегда выполняться для падающих нейтронов с нулевой энергией. Уравнение Ьгнг/2Мп — йш (к) выполняется каждый раз, когда две кривые пересекаются.
при малых р' квадратична по р', тогда как величина Йсо8(р'/Й) либо стремится к нулю по линейному закону (для акустической ветви), либо достигает постоянного значения (для оптической ветви). Поэтому при достаточно малых р' при любом направлении вектора р' энергия нейтрона всегда меньше энергии фонона. Однако с возрастанием р' энергия нейтрона может неограниченно возрастать, в то время как величина Йсо8 (р'/Й) ограничена сверху максимальной энергией фонона в данной ветви. Из соображений непрерывности тогда следует, что при каждом направлении р' существует хотя бы одно значение р', при котором левая и правая части уравнения (24.16) равны друг другу. Должно существовать по меньшей мере одно решение для каждой ветви в фононного спектра. Обычно имеется более одного решения (см. фиг. 24.5). Это происходит потому, что конечная энергия нейтрона сравнительно мала (даже когда вектор р'/Й достигает поверхности зоны Бриллюэна), поскольку нейтрон с волновым вектором ц (измеренным в обратных ангстремах) обладает энергией
?,2^==2,1^[А-1])2-Ю-3эВ,
^ = 24 (д [А'1])2 К.
кв
(24.17)
Экспериментальное определение фононного спектра
