Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
яп.г->2М7(г+во-к-и(к-ко)) =
= 2И'(Г-(К-Ко)-«(К-Ко)). (24.5)
Так как суммирование производится по всем векторам решетки Бравэ, выражение (24.5) в точности совпадает с (24.4) 3).
Один из фундаментальных результатов квантовой теории состоит в том, что каждой симметрии гамильтониана соответствует свой закон сохранения. В приложении Н показано, что данной конкретной симметрии соответствует следующий закон сохранения:
р' — р = — 2 ЙкДпк8 + (вектор обратной решетки X Й). (24.6)
кз
Если определить кеааиимпулъс фонона как умноженный на % его волновой вектор, то утверждение, выражаемое формулой (24.6), становится поразительно
х) Под состоянием с фононными числами заполнения мы понимаем такое состояние, в котором присутствуют фононов типа к«, т. е. к« -я нормальная мода пребывает в своем П]с8-м возбужденном состоянии.
2) Нейтрон может потерять энергию или приобрести ее в зависимости от соотношения между энергиями испущенных и поглощенных фононов.
3) Строго говоря, это справедливо лишь в случае, когда нейтрон взаимодействует с бесконечным кристаллом. Если бы рассеяние на поверхности было существенно (что н» имеет места при рассеянии нейтронов), квазиимпульс не сохранялся бы.
100
Глава 24
похожим на закон сохранения импульса. Изменение импульса нейтрона с точностью до аддитивного вектора обратной решетки равно взятому с обратным знаком изменению полного квазиимпульса фононов.
Подчеркнем, однако, что квазиимпульсу фонона в общем случае не отвечает никакой реальный импульс ионной системы. «Квазиимпульс» есть просто название для величины, равной произведению Н на волновой вектор фонона *). Такое название должно напоминать, что величина Йк часто играет роль, очень похожую на роль импульса, как это хорошо видно из формулы (24.6). Поскольку кристалл обладает симметрией относительно трансляций, не удивительно, что должен существовать закон сохранения, подобный сохранению импульса 2). Однако, поскольку симметрия кристалла — это лишь симметрия решетки Бравэ (а не полная трансляционная симметрия пустого пространства), не удивительно также и то, что закон сохранения квазиимпульса слабее закона сохранения импульса (т. е. что квазиимпульс сохраняется лишь с точностью до аддитивного произвольного вектора обратной решетки).
Так как мы имеем два закона сохранения, удается достаточно простым способом найти явный вид спектра со, (к), исходя из данных по рассеянию нейтронов. Чтобы показать это, рассмотрим распределение вылетающих из кристалла рассеянных нейтронов. Мы будем относить возможные процессы рассеяния к различным типам в зависимости от того, каково полное число фононов, с которыми нейтрон обменялся энергией при прохождении через кристалл.
БЕСФОНОННОЕ РАССЕЯНИЕ
В этом случае конечное состояние кристалла совпадает с его начальным состоянием. Согласно условию сохранения энергии [формула (24.3)], энергия нейтрона не должна изменяться (т. е. рассеяние должно быть упругим), а условие сохранения квазиимпульса [формула (24.6)] означает, что импульс нейтрона может измениться лишь на величину ЙК, где К — вектор обратной решетки. Если записать импульсы падающего и рассеянного нейтропов
р = НЧ, р' = ЛЧ', (24.7)
то эти условия приобретают вид
Чк = <7, 4е = Ч + К (24.8)
Уравнения (24.8) в точности совпадают с условиями Лауэ, которым должны удовлетворять волновые векторы падающего и рассеянного рентгеновского излучения, чтобы упругорассеянные рентгеновские лучи давали брэгговский максимум (см. т. 1, стр. 107). Поскольку нейтрон с импульсом р — Нц можно рассматривать как плоскую волну с волновым вектором необходимость выполнения условия Лауэ вполне естественна. Мы приходим к выводу, что упруго-рассеянные нейтроны, которые не рождают и не уничтожают фононов, могут быть обнаружены лишь в направлениях, удовлетворяющих условию Брэгга, и дают в точности ту же информацию о структуре кристалла, как и упруго-рассеянные рентгеновские лучи (см. гл. 6).
х) Терминология совершенно аналогична использованной в гл. 8, где мы определили квазиимпульс блоховского электрона с волновым вектором к как Як. Совпадение терминологии не случайно, поскольку в процессах, в которых одновременно происходят фононные и электронные переходы, сохраняется полный квазиимпульс электрон-фононной системы (с точностью до произвольного вектора обратной решетки, умноженного на Л). (См. приложение Н и гл. 26.)
а) Закон сохранения импульса следует из полной трансляционной инвариантности пустого пространства.
Экспериментальное определение фононного спектра
101
ОДНОФОНОННОЕ РАССЕЯНИЕ
Наиболее важную информацию дают нейтроны, поглотившие или испустившие ровно один фонон. В случае поглощения (который обычно более важен) законы сохранения энергии и квазиимпульса имеют вид
р' = р + Йк + Ж, (24-9)
где к — волновой вектор и я — номер ветви поглощенного фонона. В случае испускания имеем
Е' = Е—Йо), (к), р' = р_Йк + /Ж;
(24.10)
здесь произошло испускание я-го фонона с волновым вектором к.
В любом случае мы можем воспользоваться законом сохранения квазиимпульса, чтобы выразить к через переданный импульс нейтрона р' — р. Кроме того, при подстановке получающихся выражений для к в закон сохранения энергии входящим в эти соотношения добавочным вектором обратной решетки можно пренебречь, поскольку все частоты со8 (к) — периодические функции в обратной решетке:
