Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 23.4
Сравнение фононов с фотонами
Фононы Фотоны
Число нормальных мод Ър мод для каждого к, со =со8 (к) Две моды для каждого к, ш = е&(с« 3-Ю1» см/с)
Ограничения на волновой вектор Значения к ограничены первой зоной Бриллюэна к —любое
Плотность тепло- у Г й йсо8 (к) _ Р ^к__Иск
вой энергии 2л ) 72Я)3 ерм8(к)_1 г) (2я)з е$ьл_х
5
(интеграл по первой зоне (интеграл по всем к)
Бриллюэна)
Так как закон дисперсии фотонов очень прост, точное выражение для тепловой энергии излучения твердого тела во многом похоже на получаемую в дебаевском приближении формулу для тепловой энергии гармонического кристалла. Различия таковы:
1. Скорость звука следует заменить скоростью света.
2. Формула для излучения черного тела содержит дополнительный множитель 2/3, связанный с тем, что фотонный спектр имеет лишь две ветви (электромагнитное излучение является поперечным: продольная ветвь отсутствует).
3. Верхний предел интегрирования равен оо, а не к в, поскольку для фотонов на максимальный допустимый волновой вектор не налагается никаких ограничений.
Квантовая теория гармонического кристалла
95-
Третье из этих замечаний означает, что формулы для излучения черного тела всегда соответствуют по своему виду пределу крайне низких температур для кристаллов. Это вполне разумно, поскольку у подавляющего большинства (бесконечно большого числа) нормальных мод поля излучения величина Иск больше кВТ, какой бы высокой ни была температура. В сочетании с точной линейностью по к закона дисперсии фотонов отсюда следует, что мы всегда находимся в области, где теплоемкость строго кубична. Поэтому мы можем получить точную формулу для плотности тепловой энергии излучения черного тела, воспользовавшись выражением (23.20) для низкотемпературной удельной теплоемкости с„ = ди/дТ, связанной с колебаниями решетки. Для этого достаточно считать с скоростью света и умножить выражение (23.20) на 2/3 (чтобы исключить вклад продольной акустической ветви). В результате получаем закон Стефана — Больцмана:
я2 (^г>4 т чя\
Аналогично плотность тепловой энергии в интервале частот от со до со + с?о> равна
-^Т". (23-39)
Соответствующая плотность уровней равна 2/3 от выражения Дебая (23.36), в котором не следует проводить обрезание на частоте со в. Таким образом, мы приходим к закону Планка для излучения черного тела:
-д^р^гг (23-4°)
ЗАДАЧИ
1. Высопстемпературнам теплоемкость гармоньческого присталла
а) Покажите, что формулу (23.14) для главной гыескотемператугной кгантсЕСЙ пспраї-ки к закону Дюлонга и Пти можно также представить в виде
^ = -і ("Иг)'/Ї '«*<»). (23.41)
где ? (со) — плотность нормальных мод.
б) Покажите, что следующий по порядку член в гысокотемперат>рнем разложении с^/сі имеет вид
тІ^^ітіргУІІ^^' (23-42)
в) Покажите, что если кристалл представляет собой моноатомную решетку Брагэ-из ионов, испытыЕакших лишь парнсе взаимодействие с потенциалом Ф{т), то (в гармоническом приближении) второй кокент распределения частот, входящий в формулу (23.41), дается выражением
Г Лосо^(со)=^- 2 (23.43)
2. Низкстемпе ратурная теплоемкость в случае а" намерении, а также для нелинейного закона дисперсии
а) Покажите, что выражение (23.36) для плотности нормальных мод в дебаевском приближении совпадает с первым членом разложения точного (в гармоническом приближении) выражения для ? (со), если скорость с Еыбрана согласно формуле (23.18).
б) Покажите, что в й-мерном гармоническом кристалле плотность нормальных мед на низких частотах ведет себя как со''-1.
•96
Глава 23
в) Выведите отсюда, что низкотемпературная удельная теплоемкость гармонического кристалла в случае d измерений пропорциональна Td.
г) Покажите, что если бы частоты нормальных мод стремились к нулю не пропорционально к, а как fev, то низкотемпературная удельная теплоемкость в случае d измерений была •бы пропорциональна rd'v.
3. Особенности ван Хова
а) В линейной гармонической цепочке с взаимодействием лишь между ближайшими соседями закон дисперсии нормальных мод имеет вид [см. (22.29)] со (А:) = со0 | sin (ка/2) \ где константа со0 представляет максимальную частоту (достигаемую, когда к лежит на границе зоны). Покажите, что в этом случае плотность нормальных мод дается выражением
па j/cog—со:
•Особенность при со = со0 есть особенность ван Хова.
б) В трехмерном случае особенность ван Хова заключается в обращении в бесконечность не самой плотности нормальных мод, а ее производных. Покажите, что нормальные моды в окрестности максимума со (к) приводят к слагаемому в плотности нормальных мод, пропорциональному | со0 — И>\Чг).
ЛИТЕРАТУРА
1. Lewis J. Т. et al., Phys. Rev., 161, 877 (1967).
.2. Finegold L., Phillips N., Phys. Rev., 177, 1383 (1969).
3. de Launay J., в кн. Solid State Physics, vol. 2, eds. Seitz F., Turnbull D., Academic Press, New York, 1956.
4. Stedman R., Almqvist L., Nilsson <?., Phys. Rev., 162, 549 (1967).
(23.44)
ГЛАВА 24
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОНОННОГО СПЕКТРА
РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛОМ КВАЗИИМПУЛЬС БЕСФОНОННОЕ, ОДНО- И ДВУХФОНОННОЕ РАССЕЯНИЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ КРИСТАЛЛОМ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОНОННЫХ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ БРИЛЛЮЭНОВСКОЕ И РАМАНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ ВОЛНОВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
