Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
^ ~Т2Т—• (23.30)
Таким образом, фононный вклад начинает превышать электронный вклад при температуре Т0, определяемой выражением
Г0 = 0,145( ~)1/иев- (23.31)
Поскольку дебаевские температуры имеют порядок комнатной, тогда как температуры Ферми достигают десятков тысяч градусов Кельвина, температура Т0 обычно составляет несколько процентов от дебаевской, т. е. равна нескольким градусам Кельвина. Это объясняет, почему линейный член в теплоемкости металлов наблюдается лишь при очень низких температурах.
92
Глава 23
ПЛОТНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ МОД (ПЛОТНОСТЬ ФОНОННЫХ УРОВНЕЙ)
Очень многие зависящие от свойств решетки величины, подобно удельной теплоемкости (23.15), имеют вид
4- 2 <? к (к)) = 2 к (к))- (23-32>
кг г
Часто бывает удобно свести такие выражения к интегралам по частоте, вводя плотность нормальных мод на единицу объема х) ^ (со), определяемую таким образом, чтобы величина ^(со)йсо представляла собой полное число мод с частотами в бесконечно малом интервале между со и со + йсо, деленное на полный объем кристалла. При использовании плотности g сумма или интеграл в (23.32) приобретает форму
^со?(со)<?(со). (23.33)
Из сравнения (23.33) с (23.32) ясно, что плотность нормальных мод можно представить в виде
е И = 2 1 б («-из (к)). (23.34)
Плотность нормальных мод называют также фононной плотностью уровней поскольку если мы описываем решетку на языке фононов, а не нормальных мод, то число нормальных мод должно трактоваться как число фононов.
Проделывая те же преобразования, что и при выводе выражения (8.63) для электронной плотности уровней, фононную плотность уровней можно представить в несколько иной форме:
«И= 2 1^7^001. (23-35>
где интеграл берется по поверхности в первой зоне Бриллюэна, на которой со8 (к) з= со. Как и в случае электронов, из-за периодичности со8 (к) функция g (со) содержит особенности, поскольку групповая скорость, входящая в знаменатель выражения (23.35), должна при некоторых частотах обращаться в нуль. Аналогично случаю электронов эти особенности называют особенностями ван Хова 2). Типичное поведение плотности уровней, демонстрирующее такие особенности, показано на фиг. 23.6, а пример конкретного расчета особенностей для линейной цепочки дан в задаче 3.
Использование плотности уровней позволяет весьма компактно сформулировать приближение Дебая и его ограничения. Если все три ветви спектра характеризуются линейным законом дисперсии (23.21) и если волновые векторы нормальных мод считать лежащими в сфере радиусом к в, а не в первой
*) Сравните эти рассуждения с совершенно аналогичным обсуждением электронной плотности уровней в т. 1, стр. 149—152. Обычно g (со) включает в себя вклады всех ветвей фононного спекта, однако можно определить также функцию ?8(со) для каждой ветви отдельно.
г) Фактически впервые эти особенности были обнаружены именно в теории колебаний решетки.
Квантовая теория гармонического кристалла
93
зоне Бриллюэна, то выражение (23.34) становится очень простым: ?в(©) = 3 | -^5-б (со-с/с) = -—. | №с1к8(<х> — ск) =
/КЬд о
Г 3 со2 ^ 1
= \ж-сТ> <*<<»» = к^ (23.36)
I о,
СО > СОг
Столь простая параболическая зависимость представляет собой, очевидно, весьма грубую аппроксимацию кривых, характерных для реальных твердых тел (см. фиг. 23.6). Выбор величины кв гарантирует, что площадь под кривой ею (ю) будет иметь такую же величину, как под правильной кривой. Если,
о 113 4 5 6
со, 10° рад/с
Фиг. 23.6. Фононная плотность уровней в алюминии, найденная из результатов экспериментов по рассеянию нейтронов (см. гл. 24). (По работе [4].)
Верхняя кривая — полная плотность уровней. Показаны также отдельные кривые плотности уровней
для трех ветвей.
кроме того, мы выбрали скорость с согласно формуле (23.18), то две кривые будут совпадать вблизи частоты со = 0. Первое свойство достаточно для получения закона Дюлонга и Пти при высоких температурах, а второе обеспечивает правильное значение теплоемкости при низких температурах *).
Аналогичным образом модель Эйнштейна для оптических ветвей соответствует аппроксимации
gя(<o)=* | -^гб(со —соЕ) = пб(со —соя). (23.37)
(по зоне Бриллюэна)
г) Несколько лучшего согласия в широком диапазоне температур можно добиться, пользуясь усовершенствованной моделью Дебая, в которой имеются три разные скорости звука для трех ветвей.
94
Глава 23
Можно ожидать, что такая модель будет давать разумные результаты, когда рассчитываемая величина не обнаруживает резких изменений на интервале частот реальной оптической ветви.
аналогия с теорией излучения черного тела
Аналогия между фотонами и фононами, описанная на стр. 80, может быть продолжена — существует соответствие между теорией равновесного теплового электромагнитного излучения (т. е. теорией «излучения черного тела») и теорией колебательной энергии твердого тела, которую мы только что рассмотрели. В рамках классической физики, господствовавшей на рубеже нашего столетия, в обоих задачах возникали неразрешимые трудности. Так, если закон Дюлонга и Пти не мог объяснить малые удельные теплоемкости твердых тел при низких температурах, то в классической теории излучения не удавалось получить выражение для плотности энергии излучения твердого тела, которое не приводило бы к бесконечности после суммирования по всем частотам (ультрафиолетовая катастрофа, или катастрофа Рэлея — Джинса). В обоих случаях трудность была связана с тем, что, согласно классическому результату, все нормальные моды должны вносить одинаковые вклады квТ в энергию. Закон Дюлонга и Пти не содержал внутреннего противоречия, присущего соответствующему результату теории излучения, лишь потому, что в силу дискретности кристалл имеет конечное число степеней свободы. Мы сравниваем две теории в табл. 23.4.
