Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Магнитное упорядочение
337
СЛЕДСТВИЯ ДИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РАЗМАГНИЧИВАЮЩИЕ ФАКТОРЫ
В заключение отметим, что магнитное дипольное взаимодействие может приводить к появлению сильных внутренних полей, действующих на каждый отдельный спин, в результате чего локальное поле Н, которое спин чувствует на самом деле, существенно отличается от приложенного внешнего поля. Аналогичное явление для электрического поля в диэлектриках довольно подробно разбиралось в гл. 27. Здесь мы только дополнительно отметим, что указанный эффект в ферромагнитных материалах может быть весьма велик: внутреннее локальное поле в ферромагнетике может достигать в отсутствие внешнего поля тысяч гаусс. Как и в случае диэлектриков, значение внутреннего поля весьма сложным образом зависит от формы образца. Часто для установления связи между приложенным внешним полем и истинным локальным полем вводят понятие «размагничивающего фактора».
ЗАДАЧИ
1. Ограничения, налагаемые на произведения спиновых операторов
а) Используя тот факт, что собственные состояния эрмитовой матрицы образуют полную ортонормированную систему, докажите, что максимальное (минимальное) значение диагонального матричного элемента эрмитова оператора равно максимальному (минимальному) собственному значению этого оператора.
б) Докажите, что наибольшее значение диагонального матричного элемента оператора S (R)-S (R') при R Ф R' равно S2. [Указание. Запишите этот оператор через^квадрат оператора S (R) + S (R').]
в) Докажите, что наименьшее значение диагонального матричного элемента оператора S(R)-S(R') равно — S (S + 1).
2. Ограничения, налагаемые на энергию основного состояния антиферромагнетика
Получите нижний предел (33.17) энергии основного состояния гейзенберговского антиферромагнетика, используя один из результатов задачи 1. Получите верхний предел (33.17) энергии основного состояния с помощью вариационного принципа, используя в качестве пробного основное состояние, описанное на стр. 318.
3. Точная энергия основного состояния простого «антиферромагнетика»
Покажите, что энергия основного состояния цепочки их четырех спинов, описываемой антиферромагнитным гамильтонианом Гейзенберга со взаимодействием только между ближайшими соседями
Ж = /(S!-S2 + Sa-S8 + S3-S4 + Si-Si), (33.68)
равна
E0= _4/S*(l + -^-). (33.69)
Указание. Запишите гамильтониан в виде
Se = i- / [(Sx + S2 + S3 + S4)* - (Sx + S3)* - (S2 + S4)2]. (33.70)
4. Свойства спинволновых состояний
а) Убедитесь в правильности нормировки в формулах (33.19) и (33.20).
б) Выведите соотношение (33.27).
в) Покажите, что (k | S±(R) | к) = 0, т. е. что фаза спиновой волны в состоянии | к) остается неопределенной.
5. Анизотропная модель Гейзенберга
Рассмотрите анизотропный спиновый гамильтониан Гейзенберга
dW=—~- 2 [/I(R-R')St(R)Si(R') + /(R-R')8j.(R)S_L(R')]t (33.71)
R, R'
338
Глава 33
где
Jz (R—R') > / (R—R') > 0.
а) Покажите, что основное состояние (33.5) и состояние с одной спиновой волной (33.23) остаются собственными состояниями гамильтониана <SV, но энергии возбуждения спиновых волн возрастают на величину
S2[/«(R)-/(R)1. (33.72)
R
б) Покажите, что спонтанная намагниченность при низких температурах отличается от намагниченности насыщения на величину, экспоненциально зависящую от —1/Т.
в) Покажите, что доказательство отсутствия спонтанной намагниченности в двумерном случае, приведенное на стр. 322, здесь уже неприменимо.
6. Теория молекулярного поля вблизи критической точки
При малых х функция Бриллюэна В j (х) имеет вид Ах — Вх3, где А я В положительны.
а) Покажите, что в теории молекулярного поля спонтанная намагниченность ферромагнетика ведет себя как [Тс — Г)1/2, когда Т приближается к Тс снизу.
б) Покажите, что при Т = Тс намагниченность M (H, Тс) в теории молекулярного поля ведет себя при малых H как Н1^3. (Экспериментальные и расчетные данные указывают на то, что значение показателя степени для трехмерных систем ближе к V5. Для двумерной модели Изинга этот показатель равен V15.)
7. Описание ферримагнетизма и антиферромагнетизма в рамках теории молекулярного поля
Рассмотрите магнитную структуру, построенную из спинов двух типов, занимающих узлы в двух вложенных друг в друга подрешетках. Пусть константы обменного взаимодействия спинов в подрешетке 1, в подрешетке 2 и между подрешетками равны соответственно /1; /2 и /3.
а) Обобщите теорию молекулярного поля для простого ферромагнетика на этот случай, показав, что уравнению (33.59) для спонтанной намагниченности будут соответствовать связанные между собой уравнения для намагниченности каждой из подрешеток:
М2 = М0 1(Л+ Х2М2 + Х3МЛ)/Т].
б) Используя эти уравнения, покажите, что выше Тс восприимчивость в нулевом поле есть отношение двух полиномов, линейного и квадратичного по Т.
в) Убедитесь, что выражение для восприимчивости снова принимает вид закона Кюри — Вейсса, когда ионы двух подрешеток одинаковы и связаны ферромагнитным взаимодействием
(х1 = я2 > о; я3 > о).
г) Убедитесь, что в том случае, когда ионы двух подрешеток одинаковы (Ях = Я2 > 0), но связаны антиферромагнитным взаимодействием (Xs <0), температура[Гс в законе Кюри — Вейсса становится отрицательной.
