Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
то она будет иметь решения в тех точках, где график функции М0 (х) пересекается с прямой (Т/К) х (фиг. 33.11). Пересечение происходит при ненулевых X в том и только в том случае, когда наклон прямой линии Т/К превышает наклон
г) Другие случаи рассмотрены в задаче 7. Обычно делают некоторое начальное допущение о равновесном среднем значении каждого спина 8(11), используют его для того, чтобы определить среднее эффективное поле, а затем налагают условие самосогласованности, заключающееся в том, чтобы равновесное среднее значение каждого спина в(II), вычисленное для свободного спина в среднем эффективном поле, совпадало с первоначально заданным.
Магнитное упорядочение
331
М'0 (0) кривой Мо (х) в начале координат. Но производную М'в (х) можно записать через восприимчивость в нулевом поле %0, вычисленную в отсутствие взаимодействия:
к.-О).-.-2*2- <33-62>
Сравнивая (33.62) с явным выражением для закона Кюри (31.47), находим
Фиг. 33.11. Графическое решение уравнений теории молекулярного поля (33.61). Если температура Т превышает Тс (например, Т = Т0), не существует никаких решений, кроме М = о. При Т, меньших Тс (например, Т = Т,, . . ., Т4), имеются решения с ненулевым магнитным моментом М. Критическое значение Т, равное Тс, определяется геометрическим условием, согласно которому наклон кривой М0 (ж) в начале координат должен быть равен ТС[Х. Через М8 обозначена намагниченность насыщения.
М'0 (0). Это позволяет определить критическую температуру, ниже которой возможно существование спонтанной намагниченности:
Т° = -Т ^^^^Т^о- (33-63)
В табл. 33.4 полученный результат сравнивается с точными значениями критической температуры для нескольких типов двумерных и трехмерных изингов-
Таблица 33.4
Отношение точных значений критической температуры к значениям, получаемым в теории молекулярного поля (МРТ), для различных изинговских решеток со взаимодействием между ближайшими соседями а)
Тип решетки Размерность Координационное число т /ТМЇТ с' с
Шестиугольная (пчелиные соты) 2 3 0,5062173
Квадратная 2 4 0,5672963
Треугольная 2 6 0,6068256
Типа алмаза 3 4 0,67601
Простая кубическая 3 6 0,75172
Объемноцентрированная кубическая 3 8 0,79385
Гранецентрированная кубическая 3 12 0,8162
а) Значения Гс для двумерных решеток получены путем точного расчета, а для трехмерного случая вычислены методом экстраполяции с той точностью, с какой они приведены в таблице. Данные взяты из обзора Фишера [9].
332
Глава 33
ских решеток Критические температуры в теории молекулярного поля оказываются чуть ли не в два раза больше истинных значений. Однако, как и следует ожидать, согласие улучшается с увеличением размерности и координационного числа решетки.
При Т, незначительно меньших Гс, из уравнения (33.60) следует, что спонтанная намагниченность меняется как (Тс — Г)1^2 независимо от размерности решетки (см. задачу 6). Этот вывод находится в резком противоречии с известным результатом, заключающемся в том, что М -~ (Тс — Т)&, где В = */8 для двумерной модели Изинга, а для большинства реальных и модельных систем в трехмерном случае 6 « '/3. Отметим, однако, что и здесь согласие с результатами теории молекулярного поля улучшается с ростом размерности 2).
Вблизи абсолютного нуля температуры теория молекулярного поля предсказывает, что намагниченность должна отличаться от своего максимального вначения на величину порядка е~]й81квт (задача 9). Это находится в явном противоречии с зависимостью Г3^, полученной при более строгом рассмотрении изотропной 3) модели Гейзенберга и подтвержденной на эксперименте.
Выражение для восприимчивости в приближении молекулярного ПОЛЯ находится путем дифференцирования выражения (33.59):
дМ дМ„ dHett
Отсюда
ом ота ""егг . л ч -со о/\
1— Но
где Хо— восприимчивость в поле, равном Ftett . При температурах выше Те в отсутствие приложенного внешнего поля Hesf обращается в нуль и восприимчивость Хо подчиняется закону Кюри (31.47). При этом из (33.65) получаем следующее выражение для восприимчивости в нулевом поле:
* = TqferT- <33-66>
Эта зависимость, которая носит название закона Кюри — Вейсса, имеет практически тот же вид, что и закон Кюри для идеального парамагнетика (31.47), только в знаменателе Т заменяется на Т — Тс. Однако термин «закон» оказывается здесь совершенно неподходящим, поскольку вблизи Тс измеренные и рассчитанные восприимчивости трехмерных ферромагнетиков расходятся как 1/ (Т — Те) в степени примерно от Б/4 до 3/4, а не имеют простой формы, предсказываемой формулой (33.66) 4). Однако основная поправка (порядка 1/Г2) к закону Кюри для восприимчивости при высоких температурах, которую дает формула (33.66), согласуется с точным результатом (33.50). Только в этом заключается реальный смысл закона Кюри — Вейсса: он, в сущности, показывает, что высокотемпературная поправка увеличивает значение восприимчиво-
*) Если применить соотношение (33.63) к модели Изинга, то множитель 1/36' (? + 1) следует заменить тем выражением, из которого он был получен, т. е. средним значением оператора Б! для произвольно ориентированного спина.
